Resolva o problema de valor inicial dado.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Basicamente, a gente precisa encontrar uma função 
  que satisfaça a equação 
  e que atenda às condições iniciais 
  e 
 . Para isso, vamos precisar usar o método das equações características que é legal para resolver esse tipo de EDO com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. A equação diferencial dada é
Assumimos uma solução da forma 
 . Substituindo na EDO, temos:
Dividindo por 
  (que nunca é zero):
Essa é a equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes 
 , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas 
  e 
 , a solução geral da EDO é:
Aqui, 
  e 
  são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial 
 :
Essa é nossa primeira equação.
Passo 6
Agora, derivamos 
  para usar a segunda condição 
 :
Aplicando 
 :
Essa é nossa segunda equação.
Passo 7
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos 
 . Substituindo na segunda:
Então, 
 .
Passo 8
Com 
  e 
 , a solução particular é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é