Nos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^prime prime prime-y^prime=t e^-t+2 cos t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma forma adequada para y''' - y' = t e^-t + 2 cos t usando o método dos coeficientes indeterminados na equação diferencial:
Isso significa que vamos precisar entender como escolher de forma que, quando substituirmos na equação, consigamos resolver para os coeficientes que faltam. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos do lado direito da equação, que são e . Esses termos nos dizem como será a função particular que vamos escolher.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo, Y1(t) = (A t + B) e^-t . Esse termo sugere que nossa solução particular deve incluir polinômios multiplicados por . Geralmente, para algo como , tentamos uma solução na forma:
onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo, Y2(t) = C cos t + D sin t . Esse termo indica que nossa solução particular deve incluir funções trigonométricas, como cosseno e seno. Portanto, propomos uma solução na forma:
onde e são outros coeficientes a serem encontrados.

Passo 5

Finalmente, combinamos as duas partes para obter a forma completa de Y(t) = (A t + B) e^-t + C cos t + D sin t . Como temos duas fontes de termos não homogêneos, nossa solução particular será a soma das duas soluções que encontramos:

Resposta

A forma adequada para Y(t) = (A t + B) e^-t + C cos t + D sin t usando o método dos coeficientes indeterminados é:

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