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Determine os valores reais de a, b e c para que o polinômio (2 a-b+3) x^2+(b+2) x+(2 c-1) tenha grau igual a zero.

Passo 1

Então, a gente tem um polinômio: (2a - b + 3)x^2 + (b + 2)x + (2c - 1). A questão pede para encontrar os valores reais de a, b e c de forma que esse polinômio tenha grau igual a zero. Isso significa que queremos que o polinômio seja apenas uma constante, ou seja, que os termos com x desapareçam. Para resolver isso, vamos usar o conceito de grau de um polinômio, que é o maior expoente de x presente no polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o polinômio ter grau zero. Isso quer dizer que os coeficientes dos termos com x devem ser zero, deixando apenas a constante. Então, vamos igualar cada coeficiente de x^2 e de x a zero.

Passo 3

Vamos começar com o termo de x^2:
2a - b + 3 = 0
Essa é a primeira equação que precisamos resolver.

Passo 4

Agora, vamos para o termo de x:
b + 2 = 0
Essa é a segunda equação.

Passo 5

E finalmente, o termo constante já está na forma (2c - 1). Como queremos que o polinômio tenha grau zero, esse termo pode ser qualquer número real, não precisamos igualá-lo a zero.

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação primeiro, pois está mais simples:
b + 2 = 0
Subtraindo 2 de ambos os lados:
b = -2

Passo 7

Agora que temos o valor de b, vamos substituir na primeira equação para encontrar a:
2a - (-2) + 3 = 0
2a + 2 + 3 = 0
2a + 5 = 0
Subtraindo 5 de ambos os lados:
2a = -5
Dividindo por 2:
a = -52

Passo 8

Por fim, podemos escolher qualquer valor real para c, já que o termo constante não afeta o grau do polinômio. No entanto, se quisermos uma constante específica, podemos atribuir um valor a c.

Resposta

Os valores reais que satisfazem a condição são:
a = -52, b = -2
E c pode ser qualquer número real.

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