O polinômio x^3-13 x+12 é divisível por x-3 ? E por x+4 ? E por x^2+x-12 ?

Passo 1

Começamos lembrando que para saber se um polinômio f(x) é divisível por um polinômio linear x - a, basta calcular o resto via Teorema do Resto: calcular f(a). Além disso, para dividir por um quadrático, podemos fatorá-lo ou usar divisão de polinômios. Aqui f(x)=x^3-13x+12.

Passo 2

Para x-3, aplicamos o Teorema do Resto e calculamos f(3). Substituindo temos
f(3)=3^3-13cdot3+12=27-39+12=0
Como o resto é zero, x-3 divide f(x).

Passo 3

Para x+4, note que isso equivale a x-(-4), então calculamos f(-4). Substituindo
f(-4)=(-4)^3-13cdot(-4)+12=-64+52+12=0
Também dá zero, logo x+4 divide f(x).

Passo 4

Para o divisor quadrático x^2+x-12, percebemos que ele fatora como
x^2+x-12=(x-3)(x+4)
Como já mostramos que x-3 e x+4 dividem f(x), o produto também divide. Opcionalmente, confirmamos fazendo a divisão de polinômios e encontramos quociente x-1 e resto zero.

Resposta

Sim, é divisível por x-3, por x+4 e por x^2+x-12.

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