Mostre que o polinômio x^4-4 x^3+7 x^2-6 x+2 é divisível por (x-1)^2, mas não é divisível por (x-1)^3.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o polinômio p(x)=x^4-4x^3+7x^2-6x+2 tem raiz de multiplicidade exata 2 em x=1. Ou seja, (x-1)^2 divide p(x), mas (x-1)^3 não.

Passo 2

Em teoria de polinômios, se a é raiz de multiplicidade pelo menos m de p(x), então p(a)=p'(a)=cdots=p^(m-1)(a)=0. Para checar multiplicidade ≥2 em x=1, vamos avaliar p(1) e p'(1).

Passo 3

Calculando em bloco o valor de p(1) e a derivada p'(x):
p'(x)=4x^3-12x^2+14x-6
Logo,
p(1)=1-4+7-6+2=0,
p'(1)=4-12+14-6=0

Passo 4

Como p(1)=0 e p'(1)=0, concluímos que x=1 é raiz de multiplicidade pelo menos 2, isto é, (x-1)^2 divide p(x).

Passo 5

Para ver se a multiplicidade é maior que 2, calculamos a segunda derivada e avaliamos em x=1:
p''(x)=12x^2-24x+14
p''(1)=12-24+14=2 neq 0
Como p''(1)neq0, a raiz não chega a multiplicidade 3, logo (x-1)^3 não divide p(x).

Resposta

O polinômio é divisível por (x-1)^2 e não é divisível por (x-1)^3.

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