Na divisão de um polinômio p por x-k(k in R), por meio do dispositivo de Briot-Ruffini, um estudante deixou o seguinte rascunho:
-a 2 a 3 a 5 1
-2 0 16
Sendo a um número real, determine:
a) o valor de k.
b) o polinômio p.

Passo 1

O enunciado pede para dividir um polinômio p(x) de grau 4 por x - k usando Briot-Ruffini. Na tabela de coeficientes temos -a,,2a,,3a,,5,,1 e, no rascunho, os resultados parciais embaixo: o segundo valor fica -2, o terceiro 0 e o resto da divisão é 16. Vamos usar a fórmula da divisão sintética e as igualdades que aparecem no rascunho.

Passo 2

Em Briot-Ruffini, se os coeficientes de p(x) são c0=-a,,c1=2a,,c2=3a,,c3=5,,c4=1 e o divisor é x-k, definimos
b0=c0=-a,
b1=c1 + k,b0 = 2a - a k,
b2=c2 + k,b1 = 3a + k(-2),
b3=c3 + k,b2 = 5 + kcdot0 =5,
b4=c4 + k,b3 = 1 + 5k

Passo 3

Do rascunho sabemos que b1=-2, b2=0 e b4=16.

Passo 4

Da igualdade 1 + 5k =16 temos
5k = 15 implies k = 3

Passo 5

Agora, usando b2=0 em 3a -2k=0 (pois b2=3a + k(-2)),
3a -2cdot3 = 0 implies 3a =6 implies a = 2

Passo 6

Com a=2, os coeficientes de p(x) ficam -2,,4,,6,,5,,1, ou seja,
p(x) = -2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 1

Resposta

k = 3;
p(x) = -2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 1

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