Determine os valores reais de x para que exista:
\log _{5}\left(x^{2}+4 x-5\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de x tais que \log_{5}\bigl(x^{2}+4x-5\bigr) exista. Para isso, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, ou seja, devemos resolver
x^{2}+4x-5>0.

Passo 2

Encontramos as raízes da equação associada x^{2}+4x-5=0. O discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36,
portanto as raízes são
x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2},
isto é, x = 1 e x = -5.

Passo 3

Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima e a expressão x^{2}+4x-5 é positiva fora do intervalo entre as raízes. Logo,
x^{2}+4x-5>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x< -5 \quad\text{ou}\quad x>1.

Resposta

(-\infty, -5) \cup (1, \infty)

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