Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
uma única solução;
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar os valores reais de k tais que o sistema linear dado tenha uma única solução.”
Informações que o enunciado fornece aqui: nenhuma — o próprio sistema linear (as equações ou a matriz dos coeficientes) não foi enviado. Portanto, não há dados concretos sobre os coeficientes em função de k.
Passo 2
O que significa “ter uma única solução” (regra geral)?
Seja A a matriz dos coeficientes do sistema linear e b o vetor dos termos independentes; o sistema é
A x = b.
O sistema linear tem exatamente uma solução se, e somente se, a matriz A for inversível. A condição prática e verificável para inversibilidade é que o determinante de A seja diferente de zero:
\det(A) \neq 0.
Explicando devagar: A é inversível significa que existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I. Multiplicando a equação por A^{-1} obtemos x=A^{-1}b, uma única solução. Se \det(A)=0, A não é inversível e o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, depende do vetor b.
Passo 3
Como aplicar isso, passo a passo, quando o sistema for fornecido?
Escreva a matriz dos coeficientes A (cada linha corresponde aos coeficientes de uma equação).
Calcule \det(A) em função de k.
Encontre os valores de k que fazem \det(A)=0.
Os valores de k que tornam \det(A)=0 são exatamente os valores a evitar; portanto os k que dão única solução são todos os reais exceto esses valores (ou, dependendo do caso, podem ser descritos explicitamente como solução de \det(A)\neq0).
Passo 4
Fórmulas úteis e como calcular determinantes (passo a passo, sem pular etapas).
Caso 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad-bc.
Interpretação: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.
Explico: escreva as duas primeiras colunas ao lado e some os produtos das três diagonais que descem para a direita; subtrate os produtos das três diagonais que sobem para a direita.
Para matrizes maiores, usa-se expansão por cofatores ou operações de linha até triangularizar e multiplicar diagonais. Em provas, normalmente o sistema tem 2\times2 ou 3\times3 para facilitar.]
Passo 5
Exemplo ilustrativo completo (para treinar o procedimento). Considere o sistema (exemplo didático)
\begin{cases} k x + 2y = 3,\\[4pt] x + k y = 4. \end{cases}
Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} k & 2 \\[4pt] 1 & k \end{pmatrix}.
Calcule o determinante usando a fórmula ad-bc:
\det(A)=k\cdot k - 2\cdot 1 = k^{2}-2.
Para que haja única solução precisamos de \det(A)\neq 0. Então resolvemos