Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
uma única solução;

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar os valores reais de k tais que o sistema linear dado tenha uma única solução.”
Informações que o enunciado fornece aqui: nenhuma — o próprio sistema linear (as equações ou a matriz dos coeficientes) não foi enviado. Portanto, não há dados concretos sobre os coeficientes em função de k.

Passo 2

O que significa “ter uma única solução” (regra geral)?
Seja A a matriz dos coeficientes do sistema linear e b o vetor dos termos independentes; o sistema é
A x = b.
O sistema linear tem exatamente uma solução se, e somente se, a matriz A for inversível. A condição prática e verificável para inversibilidade é que o determinante de A seja diferente de zero:
\det(A) \neq 0.
Explicando devagar: A é inversível significa que existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I. Multiplicando a equação por A^{-1} obtemos x=A^{-1}b, uma única solução. Se \det(A)=0, A não é inversível e o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, depende do vetor b.

Passo 3

Como aplicar isso, passo a passo, quando o sistema for fornecido?
  1. Escreva a matriz dos coeficientes A (cada linha corresponde aos coeficientes de uma equação).
  2. Calcule \det(A) em função de k.
  3. Encontre os valores de k que fazem \det(A)=0.
  4. Os valores de k que tornam \det(A)=0 são exatamente os valores a evitar; portanto os k que dão única solução são todos os reais exceto esses valores (ou, dependendo do caso, podem ser descritos explicitamente como solução de \det(A)\neq0).

Passo 4

Fórmulas úteis e como calcular determinantes (passo a passo, sem pular etapas).
  • Caso 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad-bc.
Interpretação: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.
  • Caso 3\times3. Para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
uma forma prática (regra de Sarrus) é:
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
Explico: escreva as duas primeiras colunas ao lado e some os produtos das três diagonais que descem para a direita; subtrate os produtos das três diagonais que sobem para a direita.
  • Para matrizes maiores, usa-se expansão por cofatores ou operações de linha até triangularizar e multiplicar diagonais. Em provas, normalmente o sistema tem 2\times2 ou 3\times3 para facilitar.]

Passo 5

Exemplo ilustrativo completo (para treinar o procedimento). Considere o sistema (exemplo didático)
\begin{cases} k x + 2y = 3,\\[4pt] x + k y = 4. \end{cases}
  1. Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} k & 2 \\[4pt] 1 & k \end{pmatrix}.
  1. Calcule o determinante usando a fórmula ad-bc:
\det(A)=k\cdot k - 2\cdot 1 = k^{2}-2.
  1. Para que haja única solução precisamos de \det(A)\neq 0. Então resolvemos
k^{2}-2 \neq 0.
  1. Isolando:
k^{2}\neq 2 \quad\Longrightarrow\quad k\neq \pm\sqrt{2}.
Conclusão do exemplo: o sistema do exemplo tem única solução para todos os k\in\mathbb{R} exceto k=\sqrt{2} e k=-\sqrt{2}.]

Passo 6

Conclusão aplicada ao seu enunciado: para determinar explicitamente os valores de k que garantem uma única solução no seu problema você deve:
  • fornecer a matriz dos coeficientes A (ou as equações do sistema);
  • eu (ou você) calculará \det(A) em função de k;
  • então resolverá \det(A)\neq 0 para obter o conjunto de k que dão única solução.
Como o sistema não foi fornecido, não há como calcular \det(A) nem dar os valores numéricos de k.

Resposta

Não é possível determinar os valores de k porque o sistema linear não foi fornecido.

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