Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rr}x+4 y-z= & 12 \\\\ 3 x+8 y-2 z= & 4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de duas equações lineares com três incógnitas e pede que o resolvamos usando o Método de Gauss-Jordan e que o classifiquemos.
Informações dadas (as equações do sistema):
\begin{cases} x+4y-z=12,\\[4pt] 3x+8y-2z=4. \end{cases}
Perguntas implícitas que precisamos responder:
  1. Encontrar todas as soluções do sistema (se existirem).
  2. Classificar o sistema (única solução / nenhuma solução / infinitas soluções).]

Passo 2

O Método de Gauss-Jordan transforma o sistema numa forma mais simples usando operações elementares entre linhas até obter uma forma chamada de forma reduzida por linhas (RREF), da qual lemos as incógnitas facilmente.
Operações elementares permitidas (explicação didática):
  • trocar duas linhas (permite mudar a ordem das equações);
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo (permite normalizar pivôs);
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha (permite eliminar coeficientes).
    Objetivo: obter pivôs (1) em colunas que correspondem às incógnitas básicas e zeros acima e abaixo desses pivôs.
Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 3 & 8 & -2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 3

Vamos usar a primeira linha como pivô para zerar o elemento abaixo dela na primeira coluna. Aplicamos a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
Explico o porquê: multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda para anular o 3 que está na primeira coluna da segunda linha (assim obtemos zero abaixo do pivô). Faço as contas elemento a elemento:
  • Coluna 1: 3 - 3\cdot1 = 0.
  • Coluna 2: 8 - 3\cdot4 = 8 - 12 = -4.
  • Coluna 3: -2 - 3\cdot(-1) = -2 + 3 = 1.
  • Termo independente: 4 - 3\cdot12 = 4 - 36 = -32.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 0 & -4 & 1 & -32 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora vamos transformar o coeficiente da segunda linha e segunda coluna em 1 (normalizar o pivô da segunda linha). Aplicamos
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{4} R_2,
ou seja, dividimos a segunda linha por -4. Isso é útil porque, para Gauss-Jordan, gostamos de pivôs iguais a 1. Cálculos:
  • Coluna 2: -4\cdot(-\tfrac{1}{4}) = 1.
  • Coluna 3: 1\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -\tfrac{1}{4}.
  • Termo independente: -32\cdot(-\tfrac{1}{4}) = 8.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{4} & 8 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminamos o coeficiente 4 que está acima do pivô da segunda coluna (queremos zero acima e abaixo de cada pivô). Aplicamos
R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2.
Explicação: multiplicamos a segunda linha por 4 e subtraímos da primeira para zerar o 4 na posição (1,2). Calculando:
  • Coluna 1: 1 - 4\cdot0 = 1.
  • Coluna 2: 4 - 4\cdot1 = 0.
  • Coluna 3: -1 - 4\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -1 + 1 = 0.
  • Termo independente: 12 - 4\cdot8 = 12 - 32 = -20.
A matriz em forma reduzida por linhas (RREF) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -20\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{4} & 8 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da RREF: cada linha dá uma equação simples:
  • A primeira linha corresponde a [x = -20).
  • A segunda linha corresponde a y - \tfrac{1}{4}z = 8, que é y = 8 + \tfrac{1}{4}z.
Note que a coluna de z não tem pivô: isso indica que z é uma variável livre (podemos escolher z arbitrariamente e obter x e y). Para escrever a solução geral, introduzimos um parâmetro. Seja t\in\mathbb{R} tal que z=t. Então:
\begin{cases} x = -20,\\[4pt] y = 8 + \tfrac{1}{4}t,\\[4pt] z = t. \end{cases}
Opção alternativa (às vezes mais limpa): escolher t\] tal que \(z=4s com s\in\mathbb{R}; então y=8+s. Ambas são equivalentes; a primeira é padrão e direta.]

Passo 7

Classificação do sistema: contamos pivôs (número de linhas não nulas na RREF) e comparamos com o número de incógnitas. Temos 2 pivôs e 3 incógnitas ( x,y,z). Como o sistema é compatível (não apareceu linha do tipo 0= \text{não-zero}ã) e o posto é menor que o número de incógnitas, concluímos que o sistema tem infinitas soluções. Em terminologia usada em provas: é um sistema possível e indeterminado (SPI).

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\bigl(-20,\;8+\tfrac{1}{4}t,\;t\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.
Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).

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