Quero a solução usando o Método de Gauss-Jordan e a classificação do sistema (compatível/incompatível, determinado/indeterminado).]
Passo 2
Explicando o Método de Gauss-Jordan (de forma prática): a ideia é escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas entre si; multiplicar uma linha por número não nulo; somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma reduzida (escalonada reduzida) onde cada pivô é 1 e elimina-se completamente as outras entradas da coluna do pivô. A matriz aumentada do sistema é
Como a coluna correspondente a z não tem pivô, z é variável livre. Chamo z=t com t\in\mathbb{R}. Então:
x = -1 - 4t,\qquad y = \tfrac{1}{3} + 2t,\qquad z = t.
Explanação didática sobre variável livre: quando uma coluna da matriz de coeficientes não contém um pivô, a incógnita correspondente não é resolvida unicamente pelas equações pivotais — ela pode assumir qualquer valor (parâmetro), e as demais incógnitas ficam em função desse parâmetro.
Passo 7
Escrever a solução em forma vetorial (útil na prova):
Isto mostra que o conjunto solução é uma reta afim em \mathbb{R}^3: uma solução particular mais todas as combinações escalares do vetor direção.]
Passo 8
Classificação do sistema usando a noção de posto (rank):
A matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas após o escalonamento, logo \operatorname{rank}(A)=2.
A matriz aumentada [A|b] também tem posto 2, pois não apareceu linha contraditória como [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0.
Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2 e esse valor é menor que o número de incógnitas 3, o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções, uma família com um parâmetro).
Passo 9
Verificação rápida (checagem): substituindo x=-1-4t, y=\tfrac{1}{3}+2t, z=t nas equações originais:
Primeira equação: (-1-4t)+6\big(\tfrac{1}{3}+2t\big)-8t = -1-4t +2+12t -8t = 1 +0 =1. OK.
Segunda equação: 2(-1-4t)+6\big(\tfrac{1}{3}+2t\big)-4t = -2-8t +2+12t -4t = 0. OK.
Portanto a solução parametrizada está correta.