Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{r}x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema por Gauss-Jordan e que o classifique. O sistema dado é:
\begin{cases} x+6y-8z=1\\[4pt] 2x+6y-4z=0 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • São 2 equações lineares em 3 incógnitas x,y,z.
  • Quero a solução usando o Método de Gauss-Jordan e a classificação do sistema (compatível/incompatível, determinado/indeterminado).]

Passo 2

Explicando o Método de Gauss-Jordan (de forma prática): a ideia é escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas entre si; multiplicar uma linha por número não nulo; somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma reduzida (escalonada reduzida) onde cada pivô é 1 e elimina-se completamente as outras entradas da coluna do pivô. A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 2 & 6 & -4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira operação: eliminar o x da segunda linha usando a primeira linha. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculemos cada entrada:
  • coluna x: 2-2\cdot1=0,
  • coluna y: 6-2\cdot6=6-12=-6,
  • coluna z: -4-2\cdot(-8)=-4+16=12,
  • termo independente: 0-2\cdot1=-2.
    A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & -6 & 12 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora quero um pivô 1 na segunda linha (coluna y). Divido a segunda linha por -6: R_2 \leftarrow (-1/6)R_2. Calculando:
  • coluna y: -6\cdot(-1/6)=1,
  • coluna z: 12\cdot(-1/6)=-2,
  • termo independente: -2\cdot(-1/6)=\tfrac{1}{3}.
    A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar a entrada 6 acima do pivô y na primeira linha, para ter a coluna de y com zeros exceto o pivô. Faço R_1 \leftarrow R_1 - 6R_2. Calculando:
  • coluna x: 1-6\cdot0=1,
  • coluna y: 6-6\cdot1=0,
  • coluna z: -8-6\cdot(-2)=-8+12=4,
  • termo independente: 1-6\cdot\tfrac{1}{3}=1-2=-1.
    A matriz reduzida fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação das linhas finais como equações:
  • primeira linha: x + 4z = -1,
  • segunda linha: y - 2z = \tfrac{1}{3}.
Como a coluna correspondente a z não tem pivô, z é variável livre. Chamo z=t com t\in\mathbb{R}. Então:
x = -1 - 4t,\qquad y = \tfrac{1}{3} + 2t,\qquad z = t.
Explanação didática sobre variável livre: quando uma coluna da matriz de coeficientes não contém um pivô, a incógnita correspondente não é resolvida unicamente pelas equações pivotais — ela pode assumir qualquer valor (parâmetro), e as demais incógnitas ficam em função desse parâmetro.

Passo 7

Escrever a solução em forma vetorial (útil na prova):
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o conjunto solução é uma reta afim em \mathbb{R}^3: uma solução particular mais todas as combinações escalares do vetor direção.]

Passo 8

Classificação do sistema usando a noção de posto (rank):
  • A matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas após o escalonamento, logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz aumentada [A|b] também tem posto 2, pois não apareceu linha contraditória como [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0.
    Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2 e esse valor é menor que o número de incógnitas 3, o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções, uma família com um parâmetro).

Passo 9

Verificação rápida (checagem): substituindo x=-1-4t, y=\tfrac{1}{3}+2t, z=t nas equações originais:
  • Primeira equação: (-1-4t)+6\big(\tfrac{1}{3}+2t\big)-8t = -1-4t +2+12t -8t = 1 +0 =1. OK.
  • Segunda equação: 2(-1-4t)+6\big(\tfrac{1}{3}+2t\big)-4t = -2-8t +2+12t -4t = 0. OK.
    Portanto a solução parametrizada está correta.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\big(-1-4t,\;\tfrac{1}{3}+2t,\;t\big),\\ t\in\mathbb{R}.
Compatível indeterminado (infinitas soluções); \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<3.

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