Determine para quais valores reais de p existe x tal que:
(a) sen x=7 p+35

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de p ∈ ℝ tais que exista x com sen x = (7p + 3)/5. O conteúdo aqui é a função seno e seu intervalo de valores (imagem), e vamos precisar usar que sen x só pode assumir valores entre –1 e 1.

Passo 2

Para que exista x satisfazendo sen x = (7p + 3)/5, o lado direito precisa pertencer ao intervalo [–1,1]. Então impomos a desigualdade:
-1 <= 7p + 35 <= 1
Agora resolvemos essa dupla desigualdade passo a passo: multiplicamos todos os termos por 5, respeitando o sentido (5 > 0):
-5 <= 7p + 3 <= 5
Em seguida subtraímos 3 de cada termo:
-5 - 3 <= 7p <= 5 - 3
-8 <= 7p <= 2
Por fim dividimos todos os termos por 7 (positivo, então o sentido se mantém):
-87 <= p <= 27

Resposta

O valor de p deve pertencer ao intervalo [\left[-\tfrac{8}{7},,\tfrac{2}{7}\right],.

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