(1,0) Calcule f_{x y z} \operatorname{sendo} f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(5 x^{2}+y z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\sin\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr) e pede calcular f_{xyz} (a derivada parcial mista primeira em x, depois em y, depois em z). Há uma marcação “(1,0)” no início que está ambígua: se isso indica um ponto, falta a coordenada em z (a função tem três variáveis). Para não bloquear a resolução por falta desse dado, vou calcular f_{xyz}(x,y,z) em forma geral (expressão simbólica). Se depois quiser avaliação num ponto específico, é só fornecer o valor de z.

Passo 2

Estratégia de cálculo (passos a seguir, em linguagem bem clara):
  • Identificar a função interna u(x,y,z)=5x^{2}+y z^{2}.
  • Usar a regra da cadeia: para f=\sin(u) vale \partial f/\partial x=\cos(u)\,u_x, e análogamente para outras variáveis.
  • Calcular as derivadas parciais sucessivas: primeiro f_x, depois f_{xy}=\partial_y(f_x), e finalmente f_{xyz}=\partial_z(f_{xy}).
    Vou explicar cada regra usada na medida em que for aplicando.

Passo 3

Definição da função interna e cálculo das suas derivadas parciais (aqui é só derivar polinômios simples):
u(x,y,z)=5x^{2}+y z^{2}.
Derivando cada termo:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{2}\bigr)=10x, \qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y z^{2}\bigr)=z^{2}, \qquad u_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y z^{2}\bigr)=2yz.
Comentário rápido: ao derivar y z^{2} em relação a y tratamos z como constante; em relação a z tratamos y como constante.

Passo 4

Calcular f_x usando a regra da cadeia. Para f(x,y,z)=\sin(u) temos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\sin(u)=\cos(u)\,u_x.
Substituindo u e u_x:
f_x=10x\cos\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr).
Explicação: \cos(u) é a derivada de \sin(u) em relação a u, e u_x multiplica por causa da cadeia.

Passo 5

Calcular f_{xy}=\partial_y(f_x). Começamos de
f_x=10x\cos\bigl(u\bigr),
onde 10x é constante em relação a y. Aplicando derivada em y:
f_{xy}=10x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(u).
Agora usar que \partial_y\cos(u)=-\sin(u)\,u_y. Logo
f_{xy}=10x\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\,u_y = -10x\,\sin(u)\,z^{2}.
Substituindo u de volta,
f_{xy}=-10x z^{2}\sin\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr).
Comentário: não houve termo adicional porque 10x não depende de y.

Passo 6

Calcular f_{xyz}=\partial_z(f_{xy}). Partimos de
f_{xy}=-10x\,z^{2}\sin(u).
Aqui temos um produto entre z^{2} e \sin(u), multiplicado pela constante -10x. Vamos aplicar a regra do produto para \partial_z\bigl(z^{2}\sin(u)\bigr):
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\sin(u)\bigr) =2z\sin(u)+z^{2}\cos(u)\,u_z.
Substituindo u_z=2yz (do Passo 3):
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\sin(u)\bigr) =2z\sin(u)+z^{2}\cos(u)\cdot(2yz) =2z\sin(u)+2y z^{3}\cos(u).
Multiplicando tudo por -10x obtemos
f_{xyz}=-10x\bigl(2z\sin(u)+2y z^{3}\cos(u)\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão final e reescrever com u=5x^{2}+y z^{2}:
f_{xyz}=-20x z\sin\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr)\;-\;20x y z^{3}\cos\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr).
Também é possível fatorar -20xz:
f_{xyz}=-20x z\Bigl(\sin\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr)+y z^{2}\cos\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr)\Bigr).

Passo 8

Observação sobre avaliação num ponto: se a intenção era avaliar f_{xyz} num ponto indicado por (1,0), falta a coordenada em z. Com a expressão geral acima basta substituir x, y e z pelos valores do ponto completo quando for fornecido. Por exemplo, se o ponto fosse (1,0,0) então f_{xyz}(1,0,0)=0 (porque todos os termos contêm fator z); mas sem o valor de z não é possível dar um número.

Resposta

f_{xyz}(x,y,z)=-20x z\sin\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr)-20x y z^{3}\cos\bigl(5x^{2}+y z^{2}\bigr).

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