Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede calcular
(a derivada parcial mista primeira em
, depois em
, depois em
). Há uma marcação “(1,0)” no início que está ambígua: se isso indica um ponto, falta a coordenada em
(a função tem três variáveis). Para não bloquear a resolução por falta desse dado, vou calcular
em forma geral (expressão simbólica). Se depois quiser avaliação num ponto específico, é só fornecer o valor de
.
Passo 2
Estratégia de cálculo (passos a seguir, em linguagem bem clara):
- Identificar a função interna
. - Usar a regra da cadeia: para
vale , e análogamente para outras variáveis. - Calcular as derivadas parciais sucessivas: primeiro
, depois , e finalmente .
Vou explicar cada regra usada na medida em que for aplicando.
Passo 3
Definição da função interna e cálculo das suas derivadas parciais (aqui é só derivar polinômios simples):
Derivando cada termo:
Comentário rápido: ao derivar
em relação a
tratamos
como constante; em relação a
tratamos
como constante.
Passo 4
Calcular
usando a regra da cadeia. Para
temos:
Substituindo
e
:
Explicação:
é a derivada de
em relação a
, e
multiplica por causa da cadeia.
Passo 5
Calcular
. Começamos de
onde
é constante em relação a
. Aplicando derivada em
:
Agora usar que
. Logo
Substituindo
de volta,
Comentário: não houve termo adicional porque
não depende de
.
Passo 6
Calcular
. Partimos de
Aqui temos um produto entre
e
, multiplicado pela constante
. Vamos aplicar a regra do produto para
:
Substituindo
(do Passo 3):
Multiplicando tudo por
obtemos
Passo 7
Simplificar a expressão final e reescrever com
:
Também é possível fatorar
:
Passo 8
Observação sobre avaliação num ponto: se a intenção era avaliar
num ponto indicado por
, falta a coordenada em
. Com a expressão geral acima basta substituir
,
e
pelos valores do ponto completo quando for fornecido. Por exemplo, se o ponto fosse
então
(porque todos os termos contêm fator
); mas sem o valor de
não é possível dar um número.