Determine os valores de para os quais os seguintes sistemas admitem soluções não triviais. Nesses casos, determine essas soluções e diga qual o seu significado geométrico.

Passo 1

O enunciado nos dá dois sistemas lineares em , de modo que queremos descobrir para quais valores de eles admitem soluções não triviais. Na prática, cada sistema é uma equação da forma
ou seja, é o problema de autovalores e autovetores da matriz . Vamos (i) montar o polinômio característico , (ii) achar as raízes e (iii) determinar os autovetores, comentando seu significado geométrico.

Passo 2

Considere o sistema (a)
-,x + 2,y = lambda,x, x = lambda,y
Em forma matricial,
A = -1 & 2 [6pt] 1 & 0,
e o polinômio característico satisfaz
detl(A - lambda Ir) =det!-1-lambda & 2 [3pt] 1 & -lambda =(-1-lambda)(-lambda)-2 ]

Passo 3

Simplificando o determinante,
Logo os autovalores são
Para
de onde o autovetor é .
Para ,
de onde o autovetor é .

Passo 4

Geometricamente, cada autovetor indica uma direção em que a transformação linear A apenas escalona (sem girar). Para lambda=1 a reta y=x é ponto-fixa (\emph{eigen}-direção com escala 1) e para lambda=-2 a reta y=-tfrac12x é invertida e escalonada em fator 2.

Passo 5

Agora o sistema (b)
4,x + 2,y = lambda,x, -2,x + 8,y = lambda,y
vem da matriz
B = 4 & 2 [3pt] -2 & 8
O polinômio característico é
detl(B-lambda Ir) =det!4-lambda & 2 [3pt] -2 & 8-lambda =(4-lambda)(8-lambda)-(-4) ]

Passo 6

Expandindo,
Há um único autovalor de multiplicidade algébrica . Para ,
O autovetor é , . Note que a multiplicidade geométrica é .]

Passo 7

Geom. para (b): só existe uma reta própria, y=x, em que a transformação escala tudo por 6. Como não há segunda direção independente, a matriz não é diagonalizável; ela contrai componentes fora de y=x numa combinação de escala e cisalhamento.

Resposta

Sistema (a):
lambda=1 com autovetores t,(1,1),
lambda=-2 com autovetores t,(1,-tfrac12).
Sistema (b):
lambda=6 (multiplicidade 2) com autovetores t,(1,1).
Geom.: cada autovetor define a reta própria que é apenas escalonada pelo fator lambda; em (b) há apenas uma direção própria, logo a matriz não diagonaliza.

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