Determine os valores de para os quais os seguintes sistemas admitem soluções não triviais. Nesses casos, determine essas soluções e diga qual o seu significado geométrico.
Passo 1
O enunciado nos dá dois sistemas lineares em , de modo que queremos descobrir para quais valores de eles admitem soluções não triviais. Na prática, cada sistema é uma equação da forma
ou seja, é o problema de autovalores e autovetores da matriz . Vamos (i) montar o polinômio característico , (ii) achar as raízes e (iii) determinar os autovetores, comentando seu significado geométrico.
Passo 2
Considere o sistema (a)
Em forma matricial,
e o polinômio característico satisfaz
]
Passo 3
Simplificando o determinante,
Logo os autovalores são
Para
de onde o autovetor é .
Para ,
de onde o autovetor é .
Passo 4
Geometricamente, cada autovetor indica uma direção em que a transformação linear apenas escalona (sem girar). Para a reta é ponto-fixa (\emph{eigen}-direção com escala ) e para a reta é invertida e escalonada em fator .
Há um único autovalor de multiplicidade algébrica . Para ,
O autovetor é , . Note que a multiplicidade geométrica é .]
Passo 7
Geom. para (b): só existe uma reta própria, y=x, em que a transformação escala tudo por 6. Como não há segunda direção independente, a matriz não é diagonalizável; ela contrai componentes fora de y=x numa combinação de escala e cisalhamento.
Resposta
Sistema (a): lambda=1 com autovetores t,(1,1), lambda=-2 com autovetores t,(1,-tfrac12).
Sistema (b): lambda=6 (multiplicidade 2) com autovetores t,(1,1).
Geom.: cada autovetor define a reta própria que é apenas escalonada pelo fator lambda; em (b) há apenas uma direção própria, logo a matriz não diagonaliza.