Exercício 5. (D.K. ex. 7.9) Seja Omega subset R^n um aberto e (uj)j in N uma sequência em D^prime(Omega). Suponha que para todo x in Omega exista uma vizinhança aberta de x, Ux subset Omega, com a seguinte propriedade:
Para toda função phi in Cc^infty(Ux), a sequência em C dada por (uj(phi))j in N é convergente.
Prove que existe u in D^prime(Omega) tal que lim j infty uj=u.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência ujsubsetD'(Omega) que converge ponto a ponto em cada teste com suporte pequeno. Queremos mostrar que existe uinD'(Omega) tal que, para toda phiin Cc^infty(Omega),
limjtoinftyuj(phi)=u(phi)
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Banach–Steinhaus (Princípio da Uniforme Limitada) aplicado ao espaço de testes Cc^infty(U), que é uma Fréchet–Espaço, e a propriedade de colagem (“sheaf”) das distribuições.

Passo 2

Para cada ponto existe um aberto tal que converge para todo . Definimos
Claramente é linear. Como cada é contínuo em (que é Fréchet), e eles convergem ponto a ponto para , o Teorema de Banach–Steinhaus garante que é contínuo em . Logo .

Passo 3

Se Ux e Uy são dois dessas vizinhanças, então em Uxcap Uy qualquer phiin Cc^infty(Uxcap Uy) satisfaz
ux(phi) =limjuj(phi) =;uy(phi)
Portanto ux e uy coincidem em Cc^infty(Uxcap Uy).

Passo 4

Pela propriedade de colagem (sheaf) das distribuições, as famílias ux que coincidem nos recortes podem ser reunidas numa única distribuição uinD'(Omega) tal que, em cada Ux, u|Ux=ux.

Passo 5

Para qualquer existe com . Então
Isto mostra exatamente que em .

Resposta

Está construída uma distribuição uinD'(Omega) dada localmente por u(phi)=limjtoinftyuj(phi), e satisfaz ujto u em D'(Omega).

Exercícios relacionados