Exercício 5. (D.K. ex. 7.9) Seja
um aberto e
uma sequência em
. Suponha que para todo
exista uma vizinhança aberta de
, com a seguinte propriedade:
Para toda função
, a sequência em
dada por
é convergente.
Prove que existe
tal que
.
Prove que existe
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência
que converge ponto a ponto em cada teste com suporte pequeno. Queremos mostrar que existe
tal que, para toda
,
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Banach–Steinhaus (Princípio da Uniforme Limitada) aplicado ao espaço de testes
, que é uma Fréchet–Espaço, e a propriedade de colagem (“sheaf”) das distribuições.
Passo 2
Para cada ponto
existe um aberto
tal que
converge para todo
. Definimos
Claramente
é linear. Como cada
é contínuo em
(que é Fréchet), e eles convergem ponto a ponto para
, o Teorema de Banach–Steinhaus garante que
é contínuo em
. Logo
.
Passo 3
Se
e
são dois dessas vizinhanças, então em
qualquer
satisfaz
Portanto
e
coincidem em
.
Passo 4
Pela propriedade de colagem (sheaf) das distribuições, as famílias
que coincidem nos recortes podem ser reunidas numa única distribuição
tal que, em cada
,
.
Passo 5
Para qualquer
existe
com . Então
Isto mostra exatamente que
em
.
Resposta
Está construída uma distribuição
dada localmente por
, e satisfaz
em
.