Exercício 4. (D.K. ex. 7.6) Seja a in C e definamos x+^a=cx^a=e^a ln (x), x>0 0, x <= 0. Prove as seguintes afirmações:
a) Se Re(a)>-1, então x+^a é uma função localmente integrável em R e, portanto, pode ser interpretada como uma distribuição.
b) Se a não é um inteiro negativo, então
x+^a=1(a+k) ldots(a+1) partialx^k x+^a+k, para k>-Re(a)-1
define uma distribuição em R que é uma extensão da distribuição dada pela função x+^a em D^prime(R backslash0). A distribuição acima independe de k, desde que k seja maior do que -R e(a)-1. Determine o suporte e a ordem desta distribuição. O que ocorre se a parte real de a é um inteiro negativo, mas sua parte imaginária não se anula?
c) Seja l+(x)=cln (x), x>0 0, x <= 0. Logo l+(x) é uma função localmente integrável em R e, portanto, define uma distribuição em R. Para todo k in N, (-1)^k-1(k-1)! partialx^k l+é uma distribuição em R que estende a distribuição em R backslash0 dada pela função x+^-k. Determine seu suporte e sua ordem.
d) Formule resultados similares partindo de (-x)+^a e de l+(-x).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O exercício trata da função
onde
Queremos usar teoria de distribuições para:
– (a) mostrar que .
– (b) estender como distribuição para todo via diferenciação e determinar suporte e ordem; comentar o caso inteiro negativo mas .
– (c) mostrar que é localmente integrável, definir
e verificar que estende ; achar suporte e ordem.
– (d) formular resultados análogos para e .
Os principais instrumentos são: critério de integrabilidade em zero, definição de distribuição via aplicação em teste, integração por partes múltipla e propriedades de suporte e ordem de derivadas de distribuições.

Passo 2

Prova de (a): Re(a)>-1implies x+^a é localmente integrável
Para testar integrabilidade em 0, escolhemos 0<varepsilon<1 e calculamos
integral0^varepsilon l|x^ar|,dx =integral0^varepsilon x^Re(a),dx =gl[x^Re(a)+1Re(a)+1gr]0^varepsilon =varepsilon^Re(a)+1Re(a)+1<infty
porque Re(a)+1>0. Em qualquer compacto afastado de 0, x^a é contínua ou nula, logo integrável. Concluímos que x+^ain L^1loc(R) e define uma distribuição.

Passo 3

Definição em (b) por diferenciação e existência
Se anotin-1,-2,dots, escolha um inteiro k>-Re(a)-1. Então Re(a+k)>-1, logo x+^a+k é localmente integrável. Definimos a distribuição T por
T(varphi) =1(a+1)(a+2)cdots(a+k), llang<= partialx^kx+^a+k,,varphirrang<=
ou seja, usando integração por partes k vezes,
T(varphi) =(-1)^k(a+1)cdots(a+k) integral0^infty x^a+k,varphi^(k)(x),dx
Isso define TinD'(R) porque varphimapstointegral x^a+kvarphi^(k) é contínuo em D(R).

Passo 4

Independência de k
Se repetirmos o mesmo para k+1, a integração por partes adicional gera um fator (a+k+1) no denominador e, por cancelamento, o valor de T(varphi) permanece o mesmo. Em detalhe, a diferença entre as duas definições se reduz a um termo de contorno em x=0 e xtoinfty, que desaparece porque x^a+k+1varphi^(k)(x) se anula nessas fronteiras (suporte de varphi é compacto). Logo T independe de k, desde que k>-Re(a)-1.

Passo 5

Suporte, ordem e caso inteiro negativo
– Suporte: como e suas derivadas são nulas para , tem-se .
– Ordem: cada derivada faz a ordem de ser no máximo . Como podemos tomar mínimo satisfazendo , a ordem exata é
– Se é inteiro negativo mas , então e o denominador nunca é zero: a construção continua válida sem singularidade.

Passo 6

Parte (c): log e extensão de
  1. Integração de em :
Logo e define distribuição.
2. Definição de : para ,
Integração por partes múltipla mostra que, para ,
isto é, coincide com a distribuição dada por em .
3. Suporte e ordem: como em (b), e .

Passo 7

Parte (d): resultados para
As mesmas fórmulas de extensão por diferenciação valem, o suporte passa a ser ((-\infty,0]] e a ordem também segue a mesma regra dos itens (b) e (c).

Resposta

a) Se , então
logo é distribuição.
b) Para , tomando ,
é uma extensão única em de em . Seu suporte é e
. Se for inteiro negativo mas , a extensão permanece válida pois o denominador não zera.
c) . Para todo ,
estende em , com e .
d) Substituindo obtêm-se resultados análogos para e , com suporte em e mesmas ordens.

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