Determine os valores de k para que f: R R seja contínua:
f(x)= x^2+2 x ; & x<1 k-x ; & x >= 1

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2+2x, & x<1, k - x, & x>=1,
e pede os valores de k para que f seja contínua em R. Como cada ramo é polinomial (logo contínuo onde é definido), só precisamos checar a continuidade no ponto de transição x=1.

Passo 2

Verificamos que
;x^2+2x é contínuo em todo x<1 e
;k-x é contínuo em todo x>1.
Portanto, não há quebra de continuidade em nenhum ponto, exceto possivelmente em x=1.

Passo 3

Calculamos o limite à esquerda em x=1:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(x^2+2x) =1^2+2cdot1 =3

Passo 4

Calculamos o limite à direita em x=1 e o valor de f(1):
limxto1^+f(x) =limxto1^+(k-x) =k-1, f(1)=k-1

Passo 5

Para haver continuidade em x=1, é necessário que
limxto1^-f(x) =limxto1^+f(x),
isto é,
3 = k-1 Longrightarrow k = 4

Resposta

k = 4

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