Questão 2. (2,5 pontos)Dada a EDOL
(a) Verifique que
é um ponto singular regular da EDOL.
(b) Determine a fórmula de recorrência e a solução geral da EDOL.
(b) Determine a fórmula de recorrência e a solução geral da EDOL.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (a) verificar que
é ponto singular regular e (b) obter fórmula de recorrência e solução geral por séries de Frobenius. Vamos usar o método de Frobenius: primeiro colocamos em forma padrão para classificar o ponto, depois assumimos
e determinamos o indicial e a recorrência.
Passo 2
Dividindo por
obtemos a forma padrão
Para classificar
verificamos
e
,
ambas analíticas em . Logo
é ponto singular regular.
ambas analíticas em
Passo 3
Assumimos solução de Frobenius
Calculamos as derivadas e, após reorganizar em potências de
, chegamos ao indicial
Passo 4
Para
a condição de anular o coeficiente de
dá
e, como
, resulta a recorrência
Passo 5
Para
temos
logo
Para
obtemos
e
Resposta
A solução geral é
com ponto singular regular em
e recorrência
.