Questão 2. (2,5 pontos)Dada a EDOL
5 x y^prime prime+(5 x+4) y^prime+4 y=0
(a) Verifique que x0=0 é um ponto singular regular da EDOL.
(b) Determine a fórmula de recorrência e a solução geral da EDOL.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
5x,y''+(5x+4),y'+4,y=0
e pede (a) verificar que x0=0 é ponto singular regular e (b) obter fórmula de recorrência e solução geral por séries de Frobenius. Vamos usar o método de Frobenius: primeiro colocamos em forma padrão para classificar o ponto, depois assumimos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r
e determinamos o indicial e a recorrência.

Passo 2

Dividindo por 5x obtemos a forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0, p(x)=5x+45x=1+45x, q(x)=45x
Para classificar x0=0 verificamos
,x,p(x)=x+4/5 e ,x^2q(x)=4x/5,
ambas analíticas em x=0. Logo x0=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Assumimos solução de Frobenius
y(x)=sumn=0^inftyanx^n+r, a0neq0
Calculamos as derivadas e, após reorganizar em potências de x^m+r, chegamos ao indicial
r(5r-1)=0 Longrightarrow r1=0,;r2=tfrac15

Passo 4

Para m>=0 a condição de anular o coeficiente de x^m+r
(m+1+r)[5(m+r)+4],am+1+[5(m+r)+4],am=0
e, como 5(m+r)+4neq0, resulta a recorrência
am+1=-amm+1+r, m>=0

Passo 5

Para r1=0 temos
an=(-1)^na0n!,
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y1(x) =sumn=0^infty(-1)^na0n!,x^n =a0,e^-x
Para r2=tfrac15 obtemos
an =(-1)^na0(1+r)(2+r)cdots(n+r)
e
y2(x) =x^tfrac15sumn=0^infty(-1)^na0prodk=1^n(k+tfrac15),x^n

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,e^-x+C2,x^1/5sumn=0^infty(-1)^nx^nprodk=1^nl(k+tfrac15r),
com ponto singular regular em x=0 e recorrência
,an+1=-an/(n+1+r).

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