Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
d^2 ud x^2(x)=f(x), com u(0)=0 e u(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para a EDO
d^2udx^2(x)=f(x)
com as condições de contorno não-homogêneas u(0)=0 e u(1)=1. O conteúdo aqui é teoria de funções de Green para problemas lineares de segunda ordem, e vamos precisar reduzir para contorno homogêneo e usar as propriedades de continuidade de G e salto unitário na derivada em x=s.

Passo 2

Para lidar com os contornos não-homogêneos, definimos
v(x)=u(x)-x
Então
v''(x)=u''(x)-0=f(x),
e as condições ficam
v(0)=u(0)-0=0, v(1)=u(1)-1=0,
ou seja, v satisfaz contornos homogêneos em 0 e 1.

Passo 3

A função de Green G(x,s) para v''(x)=f(x), v(0)=v(1)=0 deve satisfazer
partial^2Gpartial x^2(x,s)=de<a(x-s),
com
G(0,s)=0, G(1,s)=0,
além de ser contínua em x=s e ter salto unitário em sua derivada:
partial Gpartial x|x=s^+ - partial Gpartial x|x=s^- =1

Passo 4

Para
As condições são:
  1. .
  2. , ou .
  3. Continuidade em :
  1. Salto unitário em em :
Resolvendo, de 3 e 4:
e
Substituindo,
Então . Com isso

Passo 5

Substituindo os coeficientes em cada ramo:
G(x,s)= (s-1),x, & x<= s, s,x - s, & x>= s
É mais usual escrever em forma simétrica:
G(x,s)= x,(1-s), & 0<= x<= s, s,(1-x), & s<= x<=1

Resposta

G(x,s)= x,(1-s), & x<= s, s,(1-x), & x>= s

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