\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão (3,0) Dados os planos \boldsymbol{\alpha}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0 e \beta: \begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} x=1-t-p \\ y=1+t+p \\ & ] z=1-t-2 p \end{array}\right.} .\end{aligned}
Determine equações paramétricas do plano \pi perpendicular aos planos \alpha \mathrm{e} \beta, e que passe pelo ponto ( 3,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede o plano \pi\) que seja perpendicular aos planos \(\alpha: x - 2y + z - 1 = 0\) e \(\beta\) dado por \[\begin{cases} x = 1 - t - p,\\\ y = 1 + t + p,\\\ z = 1 - t - 2p, \end{cases}
e que passe pelo ponto (3,2,1)\]. Para que \(\pi seja perpendicular a \alpha e a \beta, seu vetor normal \mathbf{n}_\pi deve ser ortogonal aos vetores normais de \alpha e de \beta.

Passo 2

O vetor normal de \alpha é
\mathbf{n}_\alpha = (1,\,-2,\,1).
Para \beta, extraímos dois vetores diretores a partir dos parâmetros t e p:
\mathbf{v}_t = \frac{\partial}{\partial t}(x,y,z)=(-1,\,1,\,-1), \quad \mathbf{v}_p = \frac{\partial}{\partial p}(x,y,z)=(-1,\,1,\,-2).
O vetor normal de \beta é \mathbf{n}_\beta = \mathbf{v}_t \times \mathbf{v}_p. Calculando:
\mathbf{n}_\beta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1,\,-1,\,0) \sim(1,\,1,\,0).

Passo 3

O vetor normal de \pi deve satisfazer \mathbf{n}_\pi \perp \mathbf{n}_\alpha e \mathbf{n}_\pi \perp \mathbf{n}_\beta,
logo podemos tomar
\mathbf{n}_\pi = \mathbf{n}_\alpha \times \mathbf{n}_\beta = (1,-2,1)\times(1,1,0) = (-1,\,1,\,3).

Passo 4

Para obter as equações paramétricas, escolhemos dois vetores diretores de \pi\) ortogonais a \(\mathbf{n}_\pi\). Por exemplo, \(\mathbf{u}=(1,1,0)\) e \(\mathbf{v}=(0,-3,1)\) satisfazem \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}_\pi=0\) e \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_\pi=0\). Logo, a forma paramétrica de \(\pi\) passando por \((3,2,1)\) é \[(x,y,z) = (3,2,1) + s\,(1,1,0) + t\,(0,-3,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} x = 3 + s,\\\ y = 2 + s - 3t,\\\ z = 1 + t, \end{cases}
onde (s,t\in\mathbb{R}].

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x = 3 + s,\\\ y = 2 + s - 3t,\\\ z = 1 + t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}. }

Exercícios relacionados