\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão (3,0) Dados os planos \boldsymbol{\alpha}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0 e \beta: \begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} x=1-t-p \\ y=1+t+p \\ & ] z=1-t-2 p \end{array}\right.} .\end{aligned}
Determine equações paramétricas do plano \pi perpendicular aos planos \alpha \mathrm{e} \beta, e que passe pelo ponto ( 3,2,1 ).
Passo 1
O enunciado pede o plano \pi\) que seja perpendicular aos planos \(\alpha: x - 2y + z - 1 = 0\) e \(\beta\) dado por
\[\begin{cases} x = 1 - t - p,\\\ y = 1 + t + p,\\\ z = 1 - t - 2p, \end{cases}
e que passe pelo ponto (3,2,1)\].
Para que \(\pi seja perpendicular a \alpha e a \beta, seu vetor normal \mathbf{n}_\pi deve ser ortogonal aos vetores normais de \alpha e de \beta.
Passo 2
O vetor normal de \alpha é
\mathbf{n}_\alpha = (1,\,-2,\,1).
Para \beta, extraímos dois vetores diretores a partir dos parâmetros t e p:
Para obter as equações paramétricas, escolhemos dois vetores diretores de \pi\) ortogonais a \(\mathbf{n}_\pi\). Por exemplo, \(\mathbf{u}=(1,1,0)\) e \(\mathbf{v}=(0,-3,1)\) satisfazem \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}_\pi=0\) e \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_\pi=0\).
Logo, a forma paramétrica de \(\pi\) passando por \((3,2,1)\) é
\[(x,y,z) = (3,2,1) + s\,(1,1,0) + t\,(0,-3,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} x = 3 + s,\\\ y = 2 + s - 3t,\\\ z = 1 + t, \end{cases}
onde (s,t\in\mathbb{R}].
Resposta
\boxed{ \begin{cases} x = 3 + s,\\\ y = 2 + s - 3t,\\\ z = 1 + t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}. }