Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
sumn=1^infty sen(n x)n^2+5

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais xinR a série
sumn=1^inftysen(n x)n^2+5
converge. Trata-se de uma série de funções de x. Para estudar convergência, vamos verificar a convergência absoluta usando comparação com uma série p-série.

Passo 2

Usamos que, para todo xinR e todo n, vale
gl|sen(n x)n^2+5gr|<=1n^2+5<=1n^2
Como a série
sumn=1^infty1n^2
é convergente (é uma p-série com p=2>1), pelo teste da comparação concluímos que
sumn=1^inftygl|sen(n x)n^2+5gr|
converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge (na verdade, converge absolutamente) para todo xinR.

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