Questão 2. (valor: 1,0) Determine a solução da EDO utilizando o método dos coeficientes a determinar .
Cálculo: y^prime prime+2 y^prime+y=x+3+9 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 2y' + y = x + 3 + 9e^2x
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve dois passos principais: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para cada termo do segundo membro (um polinômio de grau 1 e um termo exponencial).

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r=-1. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo polinomial x+3. Como é um polinômio de grau 1, fazemos o palpite
yp1(x) = A,x + B
Suas derivadas são
yp1'(x) = A, yp1''(x) = 0

Passo 4

Substituindo yp1 na EDO:
0 + 2A + (A x + B) = x + 3
ou seja
A,x + (2A + B) = x + 3
Comparando coeficientes de x e termo independente, obtemos
A = 1, 2A + B = 3 ;Longrightarrow; B = 1
Portanto
yp1(x) = x + 1

Passo 5

Em seguida, tratamos o termo 9e^2x. Fazemos o palpite
yp2(x) = C,e^2x
As derivadas são
yp2'(x) = 2C,e^2x, yp2''(x) = 4C,e^2x

Passo 6

Substituindo yp2 na EDO:
4C,e^2x + 2,(2C,e^2x) + C,e^2x = 9e^2x ;Longrightarrow; (4C + 4C + C)e^2x = 9e^2x ;Longrightarrow; 9C = 9 ;Longrightarrow; C = 1
Logo
yp2(x) = e^2x

Passo 7

A solução geral da EDO não homogênea é a soma de yh com yp1 e yp2:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x)

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x ;+; x + 1 ;+; e^2x

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