Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
converge. O conteúdo que vamos usar é a noção de série geométrica e seu critério de convergência, que diz que uma série
converge se, e somente se,
.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral da série no formato de uma série geométrica. Note que
Logo, temos
(o termo inicial) e
(a razão).
Passo 3
Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas, que exige
No nosso caso isso vira
Passo 4
Como
para todo
, a desigualdade
reduz-se a
Tomando logaritmo na base
(que é crescente), obtemos
e portanto
Resposta
A série
converge se, e somente se,
.