Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
sumn=0^infty 13^n x

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
sumn=0^infty 13^n x
converge. O conteúdo que vamos usar é a noção de série geométrica e seu critério de convergência, que diz que uma série
sumn=0^infty a,r^n
converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral da série no formato de uma série geométrica. Note que
13^n x = l(3^-xr)^n
Logo, temos a=1 (o termo inicial) e r = 3^-x (a razão).

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas, que exige
lvert rrvert < 1
No nosso caso isso vira
lvert 3^-xrvert < 1

Passo 4

Como 3^-x>0 para todo x, a desigualdade lvert 3^-xrvert < 1 reduz-se a
3^-x < 1
Tomando logaritmo na base 3 (que é crescente), obtemos
-,x < 0
e portanto
x>0

Resposta

A série sumn=0^infty 1/3^n x converge se, e somente se, x>0.

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