e pede: para quais valores de k o sistema é possível e determinado (ou seja, tem uma única solução)?\n
Informações dadas: os coeficientes das incógnitas e os termos independentes estão explícitos nas duas equações acima. Não há mais dados ocultos.]
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para um sistema linear de duas equações e duas incógnitas
uma condição simples para ter exatamente uma solução é que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. O determinante D é definido por
D = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Intuição geométrica (pra fixar): cada equação representa uma reta no plano. Se as retas tiverem coeficientes que fazem D\neq0 então elas não são paralelas e se cruzam num único ponto — bingo, solução única.]
Passo 3
Aplicando isso ao nosso sistema: os coeficientes são a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=2, a_{22}=k. Então o determinante é
D = 1\cdot k - 2\cdot 2 = k-4.
Portanto a condição para existir exatamente uma solução (ser possível e determinado) é
Para ficar confortável com o que isso significa na prática, calculo a solução quando k\neq4 usando a regra de Cramer (mostrando passo a passo como aplicar): definimos
x = \frac{D_x}{D} = \frac{3k-4}{k-4},\qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{k-4}.
Observação útil para prova sem calculadora: podemos reescrever x como
x = 3 + \frac{8}{k-4},
pois 3k-4 = 3(k-4)+8. Isso mostra comportamento quando k varia.]
Passo 5
O que ocorre em k=4\) (pra fechar entendimento): se \(k=4\) o determinante \(D=0\). Substituindo \(k=4\) no sistema temos
\[\begin{cases} x+2y=3,\\[4pt] 2x+4y=2. \end{cases}
Mas a segunda equação é 2x+4y\] que é exatamente \(2 vezes a primeira esquerda (pois 2(x+2y)=2x+4y), e 2 vezes a primeira constante à direita seria 2\cdot3=6, não 2. Logo as duas equações são incompatíveis: o sistema não tem solução quando k=4 (é impossível). Isso confirma que o único valor excluído para ter solução única é k=4.]