Resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=9 \\\\ 3 x-y+4 z=-5 \\\\ 2 x+y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver o sistema linear e encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} x+2y-3z=9,\\[4pt] 3x-y+4z=-5,\\[4pt] 2x+y+z=0. \end{cases}
As informações dadas são exatamente essas três equações lineares que envolvem as três incógnitas x\], \(y e z. O objetivo é determinar os números (se houver) que tornam todas as três igualdades verdadeiras simultaneamente.]

Passo 2

Escolhi usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas) porque é um método direto para sistemas 3×3: transforma o sistema num triangular superior e então usamos substituição regressiva.
Vou explicar os conceitos importantes antes de começar a mexer nas contas:
  • Matriz aumentada: é uma maneira compacta de escrever o sistema juntando os coeficientes e o termo independente. Por exemplo, para as equações acima a matriz aumentada é a matriz formada pelas colunas dos coeficientes e a coluna direita dos termos constantes.
  • Operações elementares em linhas (que não mudam o conjunto de soluções): (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por um número não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Usamos essas operações para zerar coeficientes abaixo do pivô (o elemento usado para eliminar na coluna).
  • Substituição regressiva: depois de obter uma matriz triangular superior (ou seja, com zeros abaixo dos pivôs), resolvemos a última equação para a última incógnita e voltamos substituindo para obter as anteriores.
Agora faço passo a passo.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 9\\[4pt] 3 & -1 & 4 & -5\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação do coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô ( 1 é o coeficiente de x na primeira linha).
Faço as operações:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\text{R}_1, \qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\text{R}_1.
Calculo componente a componente:
Para \text{R}_2:
3-3\cdot 1=0,\quad -1-3\cdot 2=-1-6=-7,\quad 4-3(-3)=4+9=13,\quad -5-3\cdot 9=-5-27=-32.
Logo \text{R}_2 vira [0\\\ -7\\\ 13\mid -32].
Para \text{R}_3:
2-2\cdot 1=0,\quad 1-2\cdot 2=1-4=-3,\quad 1-2(-3)=1+6=7,\quad 0-2\cdot 9= -18.
Logo \text{R}_3 vira [0\\\ -3\\\ 7\mid -18].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 9\\[4pt] 0 & -7 & 13 & -32\\[4pt] 0 & -3 & 7 & -18 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora escolho o pivô na segunda linha: o coeficiente de y na segunda linha é -7. Para facilitar a eliminação vou escalar a segunda linha para que o pivô seja 1. Faço:
\text{R}_2 \leftarrow -\tfrac{1}{7}\text{R}_2.
Aplicando:
0,\quad -7\cdot(-\tfrac{1}{7})=1,\quad 13\cdot(-\tfrac{1}{7})=-\tfrac{13}{7},\quad -32\cdot(-\tfrac{1}{7})=\tfrac{32}{7}.
Assim \text{R}_2 passa a ser [0\\\ 1\\\ -\tfrac{13}{7}\mid \tfrac{32}{7}]. A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 9\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{13}{7} & \tfrac{32}{7}\\[4pt] 0 & -3 & 7 & -18 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino o coeficiente de y na linha 3 usando a nova linha 2 (que tem pivô 1). Faço:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 3\text{R}_2,
porque \text{R}_3 tem -3 em y e -3 + 3\cdot 1 = 0.
Calculo cada entrada de \text{R}_3:
0 + 3\cdot 0 = 0, \quad -3 + 3\cdot 1 = 0,
7 + 3\cdot\Big(-\tfrac{13}{7}\Big)=7 - \tfrac{39}{7}= \tfrac{49}{7}-\tfrac{39}{7}=\tfrac{10}{7},
-18 + 3\cdot\Big(\tfrac{32}{7}\Big)= -18 + \tfrac{96}{7}= -\tfrac{126}{7} + \tfrac{96}{7} = -\tfrac{30}{7}.
Portanto \text{R}_3 vira [0\\\ 0\\ \tfrac{10}{7}\mid -\tfrac{30}{7}]. A matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 9\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{13}{7} & \tfrac{32}{7}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{10}{7} & -\tfrac{30}{7} \end{array}\right].
Agora da terceira linha obtemos uma equação só em z:
\tfrac{10}{7}z = -\tfrac{30}{7}.
Multiplico ambos os lados por \tfrac{7}{10} para isolar z:
z = -\tfrac{30}{7}\cdot \tfrac{7}{10} = -\tfrac{30}{10} = -3.]

Passo 7

Com z=-3, volto à segunda linha (a equação correspondente) para achar y. A segunda linha corresponde a
y - \tfrac{13}{7}z = \tfrac{32}{7}.
Substituo z=-3:
y - \tfrac{13}{7}(-3) = \tfrac{32}{7}.
Calculo -\tfrac{13}{7}(-3)=\tfrac{39}{7}. Então
y + \tfrac{39}{7} = \tfrac{32}{7}.
Isolando y:
y = \tfrac{32}{7} - \tfrac{39}{7} = -\tfrac{7}{7} = -1.

Passo 8

Finalmente, uso a primeira equação para achar x. A primeira equação é
x + 2y - 3z = 9.
Substituo y=-1 e z=-3:
x + 2(-1) - 3(-3) = 9.
Isso dá
x - 2 + 9 = 9 \quad\Rightarrow\quad x + 7 = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 9

Verificação rápida (só para garantir que não erramos): substituindo (x,y,z)=(2,-1,-3) nas três equações:
Primeira: 2 + 2(-1) -3(-3) = 2 -2 +9 =9 ok.
Segunda: 3\cdot 2 -(-1) + 4(-3) = 6 +1 -12 = -5 ok.
Terceira: 2\cdot 2 + (-1) + (-3) = 4 -1 -3 =0 ok. Tudo confere.

Resposta

(x,y,z)=(2,-1,-3)

Exercícios relacionados