Determine para quais valores de k o sistema
\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\\ 2 x+k y=2\end{array}\right. \text { é: }é
impossível.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas equações e pede para determinar para quais valores de k ele é impossível (isto é, não tem solução):
\left\{\begin{array}{l} x+2y=3\\[4pt] 2x+ky=2 \end{array}\right.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As equações são lineares em x e y.
  • Os coeficientes das incógnitas e os termos independentes são:
    • primeira equação: coeficientes \,1 para x e \,2 para y, termo independente \,3;
    • segunda equação: coeficientes \,2 para x e \,k para y, termo independente \,2.
  • A pergunta é: para quais valores de k o sistema é impossível (inconsistente)?]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): em sistemas de duas equações lineares, duas retas no plano podem ter
  • uma interseção única (uma solução),
  • infinitas soluções (as duas equações representam a mesma reta),
  • ou nenhuma solução (as retas são paralelas e distintas — sistema impossível).
Um teste rápido para distinguir esses casos é olhar para a matriz dos coeficientes. Para um sistema
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x+a_{12}y=b_1\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2 \end{array}\right.
definimos o determinante da matriz dos coeficientes como
\Delta = \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[2pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Interpretação prática:
  • Se \Delta \neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
  • Se \Delta = 0, as duas equações são linearmente dependentes nas incógnitas; então ou não há solução (se os termos independentes não obedecem à mesma proporção), ou há infinitas soluções (se os termos independentes estão na mesma proporção que os coeficientes).
Vou aplicar exatamente isso ao nosso sistema.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema dado. Aqui
a_{11}=1,\qquad a_{12}=2,\qquad a_{21}=2,\qquad a_{22}=k.
Então
\Delta = 1\cdot k - 2\cdot 2 = k-4.
Explicando: multiplica-se a diagonal principal 1\cdot k e subtrai-se o produto da outra diagonal 2\cdot 2.
Conclusão parcial: se \Delta\neq 0 (ou seja, se k-4\neq0 ou k\neq4) então o sistema tem solução única e, portanto, não é impossível. Logo, a única possibilidade de o sistema ser impossível é quando \Delta=0, isto é, quando k=4.

Passo 4

Agora examinar o caso crítico k=4 para ver se dá situação de infinitas soluções ou de impossibilidade.
Substituindo k=4 no sistema obtemos
\left\{\begin{array}{l} x+2y=3\\[4pt] 2x+4y=2 \end{array}\right.
Observe que a segunda equação, em termos dos coeficientes das incógnitas, é exatamente o dobro da primeira: 2\cdot(1)=2 e 2\cdot(2)=4. Ou seja, os vetores de coeficientes (1,2) e (2,4) são proporcionais — isso é consistente com \Delta=0.
Para verificar se as retas coincidem (infinitas soluções) ou são paralelas distintas (nenhuma solução), comparamos também os termos independentes com a mesma proporção. Se a segunda linha fosse exatamente o dobro da primeira incluindo o termo independente, teríamos infinitas soluções. Mas aqui o termo independente da primeira é 3; o dobro seria 2\cdot 3=6. Contudo, o termo independente da segunda equação é 2, e 2\neq6.
Para ver a contradição mais diretamente, multiplique a primeira equação por 2:
2\cdot(x+2y)=2\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad 2x+4y=6.
Mas a segunda equação afirma que 2x+4y=2. Logo as duas afirmativas sobre 2x+4y são incompatíveis: não é possível ter simultaneamente 2x+4y=6 e 2x+4y=2. Isso é uma contradição; portanto não existe nenhum par (x,y) que satisfaça ambas as equações quando k=4.
Conclusão: para k=4 o sistema é impossível (inconsistente).]

Passo 5

Resumo do raciocínio final (curto e claro):
  • Para k\neq4 o determinante \Delta=k-4\neq0, então existe solução única (sistema possível).
  • Para k=4 o determinante é zero e os termos independentes não estão na mesma proporção, levando a uma contradição — o sistema não tem solução (impossível).

Resposta

k=4

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