Determine para quais valores de k o sistema
impossível.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com duas equações e pede para determinar para quais valores de
ele é impossível (isto é, não tem solução):
Informações relevantes que temos do enunciado:
- As equações são lineares em
e . - Os coeficientes das incógnitas e os termos independentes são:
- primeira equação: coeficientes
para e para , termo independente ; - segunda equação: coeficientes
para e para , termo independente .
- primeira equação: coeficientes
- A pergunta é: para quais valores de
o sistema é impossível (inconsistente)?]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): em sistemas de duas equações lineares, duas retas no plano podem ter
- uma interseção única (uma solução),
- infinitas soluções (as duas equações representam a mesma reta),
- ou nenhuma solução (as retas são paralelas e distintas — sistema impossível).
Um teste rápido para distinguir esses casos é olhar para a matriz dos coeficientes. Para um sistema
definimos o determinante da matriz dos coeficientes como
Interpretação prática:
- Se
, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. - Se
, as duas equações são linearmente dependentes nas incógnitas; então ou não há solução (se os termos independentes não obedecem à mesma proporção), ou há infinitas soluções (se os termos independentes estão na mesma proporção que os coeficientes).
Vou aplicar exatamente isso ao nosso sistema.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema dado. Aqui
Então
Explicando: multiplica-se a diagonal principal
e subtrai-se o produto da outra diagonal
.
Conclusão parcial: se
(ou seja, se
ou
) então o sistema tem solução única e, portanto, não é impossível. Logo, a única possibilidade de o sistema ser impossível é quando
, isto é, quando
.
Passo 4
Agora examinar o caso crítico
para ver se dá situação de infinitas soluções ou de impossibilidade.
Substituindo
no sistema obtemos
Observe que a segunda equação, em termos dos coeficientes das incógnitas, é exatamente o dobro da primeira:
e
. Ou seja, os vetores de coeficientes
e
são proporcionais — isso é consistente com
.
Para verificar se as retas coincidem (infinitas soluções) ou são paralelas distintas (nenhuma solução), comparamos também os termos independentes com a mesma proporção. Se a segunda linha fosse exatamente o dobro da primeira incluindo o termo independente, teríamos infinitas soluções. Mas aqui o termo independente da primeira é
; o dobro seria
. Contudo, o termo independente da segunda equação é
, e
.
Para ver a contradição mais diretamente, multiplique a primeira equação por
:
Mas a segunda equação afirma que
. Logo as duas afirmativas sobre
são incompatíveis: não é possível ter simultaneamente
e
. Isso é uma contradição; portanto não existe nenhum par
que satisfaça ambas as equações quando
.
Conclusão: para
o sistema é impossível (inconsistente).]
Passo 5
Resumo do raciocínio final (curto e claro):
- Para
o determinante , então existe solução única (sistema possível). - Para
o determinante é zero e os termos independentes não estão na mesma proporção, levando a uma contradição — o sistema não tem solução (impossível).