Determine os valores da torção e curvatura de uma curva \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que não esteja necessariamente p.p.c.a.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as fórmulas para a curvatura e a torção de uma curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 quando a parametrização NÃO é necessariamente por comprimento de arco.
Informações e hipóteses necessárias que vou usar (assuma que isto vale para a curva dada):
\alpha é suficientemente suave (pelo menos \mathcal{C}^3) e regular: \alpha'(t)\neq 0 para os t de interesse.
Para definir a torção em um ponto também é preciso que \alpha'(t)\times\alpha''(t)\neq 0 (ou seja, a curva não é inflexional nesse ponto).
O que se quer obter são expressões explícitas de \kappa (curvatura) e \tau (torção) em termos de \alpha',\alpha'',\alpha''' avaliadas no parâmetro t.
Passo 2
Primeiros conceitos e notação (muito importantes para entender as fórmulas):
Defina a velocidade \displaystyle v(t)=\alpha'(t).
Defina a rapidez (speed) \displaystyle u(t)=\lVert v(t)\rVert=\lVert \alpha'(t)\rVert. Note que u(t)=\dfrac{ds}{dt}, onde s é o comprimento de arco. Isso significa que a derivada em relação a s se obtém por
Tomando norma e lembrando propriedades do produto vetorial (a norma de v\times v' aparece naturalmente), obtém-se uma forma simples: usando \lVert v\times(v\times v')\rVert=\lVert v\rVert\lVert v\times v'\rVert (essa identidade segue de decomposição ortogonal), chega-se ao resultado final abaixo.
Passo 5
Fórmula final para a curvatura:
A manipulação anterior conduz à fórmula bem conhecida e muito prática
Interpretação e caso especial: se a parametrização for por comprimento de arco (ou seja \lVert\alpha'(t)\rVert=1), esta fórmula reduz-se a \kappa=\lVert\alpha''(t)\rVert, que é a forma usual em parâmetro arc-length.
Passo 6
Preparação para a torção: definições e ideia:
Defina o versor normal principal (quando \kappa\neq0):
\displaystyle N=\frac{1}{\kappa}\frac{dT}{ds}.
Defina o versor binormal
\displaystyle B=T\times N.
Em parametrização por comprimento de arco vale a relação clássica (Frenet):
\displaystyle B'=-\tau N,
onde agora a derivada é em relação a s e \tau é a torção. Isto diz geometricamente que \tau mede quanto o plano osculador gira ao longo da curva. Para parametrização geral usaremos d/dt=(ds/dt)d/ds=u\,d/ds.
Passo 7
Fórmula prática para a torção (derivação via produto triplo):
Seja novamente v=\alpha', v'=\alpha'', v''=\alpha''' e u=\lVert v\rVert. Uma identidade útil, que se obtém ao expressar tudo em função de T,N,B e do fator u, é
v\times v'=u^{3}\kappa\,B.
Diferenciando e fazendo contas (ou usando a expansão de v'', verificada por escrever v em termos de T e derivadas em s), obtém-se
(v\times v')\cdot v'' = u^{6}\kappa^{2}\tau.
Como \lVert v\times v'\rVert^{2}=(u^{3}\kappa)^{2}=u^{6}\kappa^{2}, isolando \tau vem a fórmula invariável sob mudança de parâmetro:
que são as expressões clássicas para a hélice parametrizada por t (não por comprimento de arco). Isso confirma que as fórmulas funcionam e são simples de aplicar.