Determine os valores da torção e curvatura de uma curva \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que não esteja necessariamente p.p.c.a.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as fórmulas para a curvatura e a torção de uma curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 quando a parametrização NÃO é necessariamente por comprimento de arco.
Informações e hipóteses necessárias que vou usar (assuma que isto vale para a curva dada):
  • \alpha é suficientemente suave (pelo menos \mathcal{C}^3) e regular: \alpha'(t)\neq 0 para os t de interesse.
  • Para definir a torção em um ponto também é preciso que \alpha'(t)\times\alpha''(t)\neq 0 (ou seja, a curva não é inflexional nesse ponto).
    O que se quer obter são expressões explícitas de \kappa (curvatura) e \tau (torção) em termos de \alpha',\alpha'',\alpha''' avaliadas no parâmetro t.

Passo 2

Primeiros conceitos e notação (muito importantes para entender as fórmulas):
  • Defina a velocidade \displaystyle v(t)=\alpha'(t).
  • Defina a rapidez (speed) \displaystyle u(t)=\lVert v(t)\rVert=\lVert \alpha'(t)\rVert. Note que u(t)=\dfrac{ds}{dt}, onde s é o comprimento de arco. Isso significa que a derivada em relação a s se obtém por
\frac{d}{ds}=\frac{1}{u(t)}\frac{d}{dt}.
  • Defina o versor tangente unitário
\displaystyle T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\lVert\alpha'(t)\rVert}=\frac{v}{u}.
Explicação curta: T aponta na direção da velocidade, é unitário, e mede só a direção da curva.

Passo 3

Definição de curvatura (intuição + fórmula conceitual):
  • Intuição: a curvatura \kappa mede a taxa de variação da direção tangente por unidade de comprimento. Em termos clássicos,
\displaystyle \kappa=\left\lVert\frac{dT}{ds}\right\rVert.
  • Usando \dfrac{d}{ds}=\dfrac{1}{u}\dfrac{d}{dt} obtemos
\kappa=\left\lVert\frac{1}{u}\frac{dT}{dt}\right\rVert=\frac{\lVert T'(t)\rVert}{u}.
Agora vou manipular T'(t) em termos de v=\alpha' e v'=\alpha''.

Passo 4

Cálculo explícito de T'(t) e identidade vetorial chave:
  • Comece com T=\dfrac{v}{u}. Diferenciando em t:
T'=\frac{v'}{u}-\frac{v\,u'}{u^2}.
  • Observe que u'=\dfrac{d}{dt}\lVert v\rVert=\dfrac{v\cdot v'}{\lVert v\rVert}=\dfrac{v\cdot v'}{u}. Substituindo:
T'=\frac{v'}{u}-\frac{v\,(v\cdot v')}{u^3}=\frac{u^2 v' - v(v\cdot v')}{u^3}.
  • Agora use a identidade do produto vetorial duplo (produto vetorial análogo à identidade de Lagrange):
v\times(v\times v')=v(v\cdot v')-v'(v\cdot v)=v(v\cdot v')-u^2 v'.
Reescrevendo:
u^2 v' - v(v\cdot v') = -\,v\times(v\times v').
Portanto
T'=\frac{-\,v\times(v\times v')}{u^3}.
Tomando norma e lembrando propriedades do produto vetorial (a norma de v\times v' aparece naturalmente), obtém-se uma forma simples: usando \lVert v\times(v\times v')\rVert=\lVert v\rVert\lVert v\times v'\rVert (essa identidade segue de decomposição ortogonal), chega-se ao resultado final abaixo.

Passo 5

Fórmula final para a curvatura:
  • A manipulação anterior conduz à fórmula bem conhecida e muito prática
\boxed{\displaystyle \kappa(t)=\frac{\lVert \alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert}{\lVert\alpha'(t)\rVert^{3}}.}
  • Interpretação e caso especial: se a parametrização for por comprimento de arco (ou seja \lVert\alpha'(t)\rVert=1), esta fórmula reduz-se a \kappa=\lVert\alpha''(t)\rVert, que é a forma usual em parâmetro arc-length.

Passo 6

Preparação para a torção: definições e ideia:
  • Defina o versor normal principal (quando \kappa\neq0):
\displaystyle N=\frac{1}{\kappa}\frac{dT}{ds}.
  • Defina o versor binormal
\displaystyle B=T\times N.
  • Em parametrização por comprimento de arco vale a relação clássica (Frenet):
\displaystyle B'=-\tau N,
onde agora a derivada é em relação a s e \tau é a torção. Isto diz geometricamente que \tau mede quanto o plano osculador gira ao longo da curva. Para parametrização geral usaremos d/dt=(ds/dt)d/ds=u\,d/ds.

Passo 7

Fórmula prática para a torção (derivação via produto triplo):
  • Seja novamente v=\alpha', v'=\alpha'', v''=\alpha''' e u=\lVert v\rVert. Uma identidade útil, que se obtém ao expressar tudo em função de T,N,B e do fator u, é
v\times v'=u^{3}\kappa\,B.
  • Diferenciando e fazendo contas (ou usando a expansão de v'', verificada por escrever v em termos de T e derivadas em s), obtém-se
(v\times v')\cdot v'' = u^{6}\kappa^{2}\tau.
  • Como \lVert v\times v'\rVert^{2}=(u^{3}\kappa)^{2}=u^{6}\kappa^{2}, isolando \tau vem a fórmula invariável sob mudança de parâmetro:
\boxed{\displaystyle \tau(t)=\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\lVert \alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert^{2}}.}
  • Observação: esta expressão exige \alpha'(t)\times\alpha''(t)\neq 0 (para que o denominador não zere), ou seja, ponto não-inflexional.

Passo 8

Breve exemplo concreto (para fixar a ideia) — hélice:
  • Tome \displaystyle \alpha(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b t) com a>0. Então
\alpha'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b),\qquad \alpha''(t)=(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0),
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=(a^2\cos t,\;a^2\sin t,\;a b).
  • Calcula-se \lVert\alpha'\rVert=\sqrt{a^2+b^2}, \lVert\alpha'\times\alpha''\rVert = a(a^2+b^2)^{1/2}. Aplicando as fórmulas acima obtém-se
\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2},
que são as expressões clássicas para a hélice parametrizada por t (não por comprimento de arco). Isso confirma que as fórmulas funcionam e são simples de aplicar.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{\lVert \alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert}{\lVert\alpha'(t)\rVert^{3}}
\displaystyle \tau(t)=\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\lVert \alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert^{2}}

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