Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes
[ccc1 & -1 & 0 2 & 2 & 0 alpha & beta & 27]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & -1 & 0 2 & 2 & 0 alpha & beta & 27
e pede os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). O conteúdo é cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) e resolução de (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I). Note que as entradas na terceira coluna são zero nas duas primeiras linhas, logo, ao expandir pela terceira coluna,
det(A-lambda I) =(27-lambda),det 1-lambda & -1[6pt] 2 & 2-lambda
Agora
det 1-lambda & -1[3pt] 2 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-(-1)cdot2 =lambda^2-3lambda+4
Portanto
det(A-lambda I)=(27-lambda)l(lambda^2-3lambda+4r) ]

Passo 3

As raízes do polinômio característico são:
lambda1=27,
e as raízes da equação
lambda^2-3lambda+4=0
cuja solução é
lambda2,3=3pm iraiz72

Passo 4

Para , resolvemos
As duas primeiras equações obrigam , e a terceira impõe , logo é livre. Um autovetor não-nulo é
]

Passo 5

Para tal que , escrevemos
Das duas primeiras linhas vem
que são equivalentes pois . Então escolhemos e . Da terceira linha,
Assim, para cada , um autovetor é
]

Resposta

Os autovalores são
lambda1=27, lambda2,3=3pm iraiz72
Um autovetor associado a lambda1=27 é
v1 = 001,
e, para lambda=3pm iraiz72, um autovetor genérico é
v(lambda) = 1[3pt] 1-lambda[3pt] -dfracalpha+beta(1-lambda)27-lambda ]

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