Se A é um subconjunto de um espaço de Hilbert, mostre que A^perp=[A]^perp. Mostre também que A^perp perp=[A].

Passo 1

O enunciado pede para um espaço de Hilbert H e um subconjunto Asubset H duas coisas:
  1. Mostrar que
A^perp ;=;[A]^perp,
onde [A] é o subespaço gerado linearmente por A (ou seja, todas as combinações lineares finitas de elementos de A) e o traço sobre [;] denota fecho em H.
2) Mostrar que
A^perpperp ;=;[A]
Vamos usar as definições
A^perp=,xin Hmid lang<= x,arang<==0;forall ain A
e propriedades básicas de complemento ortogonal em espaços de Hilbert, além do fato de que o fecho de um subespaço é o menor subespaço fechado que o contém.

Passo 2

Provo que A^perp=[A]^perp.
Como Asubset [A], qualquer vetor x que seja ortogonal a todos os vetores de [A] é em especial ortogonal a todos os de A; assim
[A]^perp;subset;A^perp
Por outro lado, se xin A^perp então, para qualquer combinação linear finita
y=sumi=1^nalphai ai com aiin A, temos
lang<= x,yrang<= =llang<= x,sumi=1^nalphai airrang<= =sumi=1^nalphai,lang<= x,airang<= =0,
logo xperp y e portanto xin [A]^perp. Concluímos
A^perp=[A]^perp

Passo 3

Provo que [A]^perp=[A]^perp.
Como [A]subset [A], vale novamente
[A]^perp;subset;[A]^perp
Para a outra inclusão, seja xin [A]^perp. Se y pertence ao fecho [A], existe uma sequência (yn)subset [A] com ynto y. Mas
lang<= x,ynrang<==0 para todo n, e como o produto interno é contínuo temos
lang<= x,yrang<= =limntoinftylang<= x,ynrang<= =0
Logo xperp y e xin [A]^perp. Concluímos
[A]^perp=[A]^perp

Passo 4

Juntando os Passos 2 e 3 temos
A^perp =[A]^perp =[A]^perp,
que prova a primeira identidade pedida.

Passo 5

Recordo agora uma propriedade clássica em espaços de Hilbert: para qualquer subespaço (não necessariamente fechado) Msubset H vale
M^perpperp =M
Aplicando isso a M=[A] obtemos
A^perpperp =l([A]^perpr)^perp =[A]^perpperp =[A],
já que A^perp=[A]^perp.

Resposta

A^perp=[A]^perp e A^perpperp=[A].

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