Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes
[ll1 & 3 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz A abaixo:
A = 1 & 3[6pt]3 & 2
Para isso, vamos usar o conceito de polinômio característico det(A - lambda I)=0 para encontrar lambda e em seguida resolver (A - lambda I)v=0 para obter v.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det!1-lambda & 3[4pt]3 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-9 =lambda^2-3lambda-7
Igualando a zero,
lambda^2 - 3lambda - 7 = 0
as raízes são
lambda1,2 = 3 pm raiz9 + 282 = 3 pm raiz372 ]

Passo 3

Para cada lambda resolvemos (A - lambda I)v=0.
1. Para lambda1 = 3 + raiz372, o sistema é
(1-lambda1)x + 3y = 0, 3x + (2-lambda1)y = 0
Da primeira equação segue
y = lambda1 - 13,x = tfrac3 + raiz372 - 13,x = 1 + raiz376,x
Escolhendo x=6 para simplificar, obtemos y = 1 + raiz37. Logo um autovetor é
v1 = 61 + raiz37
2. Para lambda2 = 3 - raiz372, analogamente
y = lambda2 - 13,x = 1 - raiz376,x,
e, tomando x=6, vem y = 1 - raiz37. Assim
v2 = 61 - raiz37

Resposta

lambda1 = 3 + raiz372, v1 = 61 + raiz37
lambda2 = 3 - raiz372, v2 = 61 - raiz37

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