Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes
[cc1 & -1 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & -1 2 & 2
Para resolver vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para obter cada autovetor.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(A - lambda I) = det1-lambda & -1 [6pt] 2 & 2-lambda = (1-lambda)(2-lambda) - (-1)cdot 2 = (1-lambda)(2-lambda) + 2
Expandindo,
(1-lambda)(2-lambda) + 2 = 2 -3lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 3lambda + 4
]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de
lambda^2 - 3lambda + 4 = 0
O discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot4 = 9 -16 = -7,
logo as soluções são complexas:
lambda1,2 = 3 pm iraiz72

Passo 4

Para cada lambda resolvemos (A-lambda I)v=0. A primeira linha dá
(1-lambda)x - y = 0 Longrightarrow y = (1-lambda),x
Escolhendo x=1, obtemos o autovetor
v = 1[4pt]1-lambda
Assim, para
lambda1 = 3 + iraiz72, 1-lambda1 = 2 - (3 + iraiz7)2 = -1 - iraiz72,
o autovetor é
v1 = 1[4pt]tfrac-1 - iraiz72
De modo análogo, para
lambda2 = 3 - iraiz72, 1-lambda2 = -1 + iraiz72,
temos
v2 = 1[4pt]tfrac-1 + iraiz72
]

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 3 + iraiz72, lambda2 = 3 - iraiz72,
com autovetores correspondentes
v1 = 1[4pt]tfrac-1 - iraiz72, v2 = 1[4pt]tfrac-1 + iraiz72
]

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