Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes
[ll1 & alpha 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores próprios (autovalores) e, para cada um deles, os vetores próprios (autovetores) da matriz
A = 1 & alpha [6pt] 0 & 2
O conteúdo aqui é o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, a resolução de (A-lambda I)x=0 para cada autovalor lambda.]

Passo 2

Formamos o polinômio característico de A usando determinante de matriz triangular:
det(A - lambda I) = det1-lambda & alpha [3pt] 0 & 2-lambda =(1-lambda),(2-lambda)
Logo, os autovalores são as raízes
lambda1 = 1, lambda2 = 2
]

Passo 3

Para lambda1=1, resolvemos
(A - I)x = 1-1 & alpha [3pt] 0 & 2-1 x1 x2 = 0 & alpha [3pt] 0 & 1 x1 x2 = 0
Isso gera o sistema
alpha,x2 = 0, x2 = 0
Sempre temos x2=0 (mesmo se alpha=0), e x1 é livre. Escolhendo x1=1, um autovetor associado a lambda1=1 é
v1 = 10
]

Passo 4

Para lambda2=2, resolvemos
(A - 2I)x = 1-2 & alpha [3pt] 0 & 2-2 x1 x2 = -1 & alpha [3pt] 0 & 0 x1 x2 = 0
Isto dá
-,x1 + alpha,x2 = 0 Longrightarrow x1 = alpha,x2,
com x2 livre. Tomando x2=1, obtemos o autovetor
v2 = alpha1
]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1 = 1 com vetor próprio v1 = (1,0)^T,
lambda2 = 2 com vetor próprio v2 = (alpha,1)^T.

Exercícios relacionados