12 Dadas as retas r1:(0,0,1)+t(1,1,1) e r2: s(0,1,0) e os pontos P=(0,1,1) e Q=(0,1,2). Determine a equação da reta r que contém o ponto P, interseta a reta r1 e equidista do ponto Q e da reta r2.

Passo 1

O enunciado pede a reta r em R^3 que satisfaz três condições:
  1. Passa por P=(0,1,1).
  2. Intersecta a reta
r1:;(x,y,z)=(0,0,1)+t,(1,1,1)
  1. Está equidistante do ponto Q=(0,1,2) e da reta
r2:;(x,y,z)=(0,1,0)+s,(0,1,0)
Para resolver vamos usar: representação paramétrica de retas, condições de interseção e as fórmulas vetoriais de distância ponto–reta e reta–reta.

Passo 2

Seja
Para que interseccione existem tais que
Isso gera o sistema
Da primeira e da terceira equações vem temos , logo
Além disso, igualando a primeira e a segunda equações obtemos

Passo 3

Agora a condição de equidistância. A distância de Q à reta r é
d(Q,r)=l|,(Q-P)times (a,b,a)r||(a,b,a)| com Q-P=(0,0,1)
Calculamos
(Q-P)times (a,b,a)=(0,0,1)times(a,b,a)=(-b,;a,;0),
|(a,b,a)|=raiz2a^2+b^2,|(-b,a,0)|=raiza^2+b^2,
therefore d(Q,r)=raiza^2+b^2raiz2a^2+b^2

Passo 4

A distância entre as retas r e r2 (direção w=(0,1,0), ponto em Q2=(0,1,0)) é
d(r,r2)=l|(P-Q2)cdotl((a,b,a)times wr)r||(a,b,a)times w|
Aqui
(a,b,a)times(0,1,0)=(-a,0,a), P-Q2=(0,0,1),
|(P-Q2)cdot(-a,0,a)|=|a|,|(-a,0,a)|=|a|raiz2,
therefore d(r,r2)=|a||a|raiz2=1raiz2
A condição de equidistância d(Q,r)=d(r,r2) leva a
raiza^2+b^2raiz2a^2+b^2=1raiz2 Longrightarrow b=0

Passo 5

Concluímos a=cneq0 e b=0. Escolhendo a=1 (é só escala), a direção de r é (1,0,1).
Da interseção tínhamos u0,(a-b)=1, isto é u0cdot1=1, logo u0=1. O ponto de interseção fica em
P+1cdot(1,0,1)=(1,1,2),
que coincide com r1 em t0=1.

Resposta

A reta procurada é
r:;(x,y,z)=(0,1,1)+t,(1,0,1)

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