12 Dadas as retas
e os pontos
. Determine a equação da reta
que contém o ponto
, interseta a reta
equidista do ponto
e da reta
.
Passo 1
O enunciado pede a reta
em
que satisfaz três condições:
- Passa por
. - Intersecta a reta
- Está equidistante do ponto
e da reta
Para resolver vamos usar: representação paramétrica de retas, condições de interseção e as fórmulas vetoriais de distância ponto–reta e reta–reta.
Passo 2
Seja
Para que
interseccione
existem
tais que
Isso gera o sistema
Da primeira e da terceira equações vem temos
, logo
Além disso, igualando a primeira e a segunda equações obtemos
Passo 3
Agora a condição de equidistância. A distância de
Q à reta
r é
Calculamos
Passo 4
A distância entre as retas
r e
r2 (direção
w=(0,1,0) , ponto em
Q2=(0,1,0) ) é
Aqui
A condição de equidistância
d(Q,r)=d(r,r2) leva a
Passo 5
Concluímos
a=cneq0 e
b=0 . Escolhendo
a=1 (é só escala), a direção de
r é
(1,0,1) .
Da interseção tínhamosu0,(a-b)=1 , isto é
u0cdot1=1 , logo
u0=1 . O ponto de interseção fica em
Da interseção tínhamos
que coincide com
r1 em
t0=1 .
Resposta
A reta procurada é