Determine os valores de m para que os vetores u=(2, m, 8), v=(m+4,-1,3) e w=(7,4 m, 31) sejam LD.
Resp: m=-3 ou m=2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores u=(2,m,8), v=(m+4,-1,3) e w=(7,4m,31) em R^3, e queremos achar os valores de m que os tornam linearmente dependentes. Em R^3, isso ocorre se, e somente se, o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores for zero.

Passo 2

Formamos a matriz
M = 2 & m & 8 m+4 & -1 & 3 7 & 4m & 31
e impomos a condição
det(M)=0

Passo 3

Calculamos det(M) pela expansão na primeira linha:
det(M) =2det-1 & 34m & 31 - mdetm+4 & 37 & 31 +8detm+4 & -17 & 4m
Os menores são
det-1 & 34m & 31=-1cdot31-3cdot4m=-31-12m,
detm+4 & 37 & 31=(m+4),31-3cdot7=31m+103,
detm+4 & -17 & 4m=4m(m+4)+7=4m^2+16m+7

Passo 4

Substituindo esses valores:
det(M)=2(-31-12m)-m(31m+103)+8(4m^2+16m+7)
Expandindo e somando termos semelhantes, obtemos
det(M)=m^2+m-6
Logo a condição de dependência linear é
m^2+m-6=0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
m=-1pmraiz1+242=-1pm52,
resultando em
m=2ou m=-3

Resposta

m=-3 ou m=2

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