Determine m para que os vetores u=(2, m, 2), v=(3, m, 0) e w=(1,-3,4) formem uma base do Re^3.
Resp: m neq-3

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m tais que os vetores u=(2,m,2), v=(3,m,0) e w=(1,-3,4) formem uma base de R^3. Isso equivale a exigir que eles sejam linearmente independentes, ou seja, que o determinante da matriz formada por eles seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos usar como critério de independência linear o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores dados. Se denotarmos
A = 2 & m & 2 3 & m & 0 1 & -3 & 4 ,
então é necessário ter det(A)neq 0.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha,
det(A) =2detm & 0 -3 & 4 - mdet3 & 0 1 & 4 +2det3 & m 1 & -3
Os menores são
detm & 0 -3 & 4=4m, det3 & 0 1 & 4=12, det3 & m 1 & -3=-9-m
Logo,
det(A)=2cdot4m - mcdot12 +2cdot(-9-m) =8m -12m -18 -2m = -6m -18

Passo 4

Para que os vetores formem base, precisamos de
det(A)neq 0 Longrightarrow -6m -18 neq 0 Longrightarrow m + 3 neq 0 Longrightarrow m neq -3

Resposta

m neq -3

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