Determine os valores de x para os quais os vetores V=x \vec{i}+x \vec{j}-2 \vec{k} e W=-3 \vec{i}+x \vec{j}+14 \vec{k} são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em função de x:
V = x\,\vec{i} + x\,\vec{j} - 2\,\vec{k},
W = -3\,\vec{i} + x\,\vec{j} + 14\,\vec{k},
e pede os valores de x para os quais eles são perpendiculares. O conteúdo aqui é produto escalar e condição de ortogonalidade.

Passo 2

Do conceito de produto escalar, dois vetores são perpendiculares se, e somente se,
V \cdot W = 0.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
V \cdot W = (x)(-3) + (x)(x) + (-2)(14).
Isso dá
-3x + x^2 - 28 = 0.
Ou seja,
x^2 - 3x - 28 = 0.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática \,x^2 - 3x - 28 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-28) = 9 + 112 = 121.

Passo 5

Como \Delta = 121, as raízes vêm de
x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{3 \pm 11}{2}.
Portanto,
x = \frac{3 + 11}{2} = 7 \quad\text{ou}\quad x = \frac{3 - 11}{2} = -4.

Resposta

Os vetores são perpendiculares para x = -4 ou x = 7.

Exercícios relacionados