Exiba uma base para a imagem e para o núcleo da seguinte transformação linear e determine o seu posto. Determine também a matriz que representa a transformação em relação a base canônica.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos encontrar
- A matriz de
na base canônica, - O posto de
, - Uma base de
, - Uma base de
.
Passo 2
Vamos achar a matriz
de
em relação às bases canônicas
. Calculando as imagens dos vetores canônicos:
Logo,
onde as colunas são
.
Passo 3
Para determinar o posto, fazemos a eliminação de Gauss em
:
Vê-se que a terceira linha é múltiplo da segunda, restando dois pivôs (colunas 1 e 2). Logo
Passo 4
Como os pivôs estão nas colunas 1 e 2, uma base de
é dada pelas colunas correspondentes:
Isso mostra que
.
Passo 5
Para achar
Da primeira equação
. Então
, e a terceira é satisfeita automaticamente. Com parâmetro
, temos
Logo
e
.
Resposta
Base de
:
.
Base de :
.
Posto: .
Matriz na base canônica:
Base de
Posto:
Matriz na base canônica: