Exiba uma base para a imagem e para o núcleo da seguinte transformação linear e determine o seu posto. Determine também a matriz que representa a transformação em relação a base canônica.
\begin{aligned} T & : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\\ T(x, y, z) & =(x+3 y, 2 y+4 z, x+y-4 z) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z) = (\,x+3y,\;2y+4z,\;x+y-4z\,).
Precisamos encontrar
  1. A matriz de T na base canônica,
  2. O posto de T,
  3. Uma base de \mathrm{Im}(T),
  4. Uma base de \ker(T).

Passo 2

Vamos achar a matriz A de T em relação às bases canônicas \{e_1,e_2,e_3\}. Calculando as imagens dos vetores canônicos:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(3,2,1),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,4,-4).
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 1 & 1 & -4 \end{pmatrix},
onde as colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3).

Passo 3

Para determinar o posto, fazemos a eliminação de Gauss em A:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 1 & 1 & -4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{R}_3\!-\!R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Vê-se que a terceira linha é múltiplo da segunda, restando dois pivôs (colunas 1 e 2). Logo
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 4

Como os pivôs estão nas colunas 1 e 2, uma base de \mathrm{Im}(T) é dada pelas colunas correspondentes:
\{\,T(e_1),\,T(e_2)\} = \{(1,0,1),\;(3,2,1)\}.
Isso mostra que \dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr)=2.

Passo 5

Para achar \ker(T)\), resolvemos \(A\,(x,y,z)^T=0\), isto é o sistema \[\begin{cases} x+3y=0,\\\\ 2y+4z=0,\\\ x+y-4z=0. \end{cases}
Da primeira equação x=-3y\]. Da segunda \(y=-2z. Então x=6z, e a terceira é satisfeita automaticamente. Com parâmetro z=t, temos
(x,y,z) = t\,(6,-2,1).
Logo \ker(T)=\mathrm{span}\{(6,-2,1)\} e \dim\bigl(\ker(T)\bigr)=1.

Resposta

Base de \mathrm{Im}(T): \{(1,0,1),\,(3,2,1)\}.
Base de \ker(T): \{(6,-2,1)\}.
Posto: 2.
Matriz na base canônica:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}.

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