Encontre a equação do plano que passa pelos pontos P=(-2,0,7), Q=(0,-3,4) e R=(2,3,-4).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P=(-2,0,7), Q=(0,-3,4) e R=(2,3,-4). O conteúdo é geometria analítica no espaço: para achar a equação do plano precisamos de um vetor normal, que obtém-se pelo produto vetorial de dois vetores diretores formados a partir desses pontos.

Passo 2

Construímos dois vetores diretores a partir de P:
\vec{PQ} = Q - P = (0-(-2),\,-3-0,\,4-7) = (2,-3,-3),
\vec{PR} = R - P = (2-(-2),\,3-0,\,-4-7) = (4,3,-11).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado por
\mathbf{n} = \vec{PQ}\times\vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -3 & -3 \\\\ 4 & 3 & -11 \end{vmatrix} = (33+9)\,\mathbf{i} -(-22+12)\,\mathbf{j} + (6+12)\,\mathbf{k} = (42,\,10,\,18).
Podemos simplificar dividindo por 2:
\mathbf{n} = (21,\,5,\,9).

Passo 4

A forma geral do plano com normal (a,b,c) passando por (x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a=21, b=5, c=9 e (x_0,y_0,z_0)=(-2,0,7), então
21(x+2)+5(y-0)+9(z-7)=0 \quad\Longrightarrow\quad 21x+42+5y+9z-63=0 \quad\Longrightarrow\quad 21x+5y+9z-21=0.

Resposta

21x + 5y + 9z - 21 = 0.

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