Sabemos que a reta r_{1} que passa pelos pontos A=(-1,0,0) e B=(0,-2,8).
Encontre a equação do plano que contém a reta r_{1} e é paralelo ao vetor $V=(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta r_{1} definida pelos pontos
A = (-1,0,0),\quad B=(0,-2,8)
e que é paralelo ao vetor
V=(2,-1,3).
O tema é “equação de plano no espaço” e vamos usar os seguintes ingredientes:
– Um vetor diretor de r_{1}.
– O vetor V.
– O produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.
– A fórmula n\cdot(X-P)=0 para escrever a equação do plano.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de r_{1} subtraindo coordenadas de A e B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1),\, -2 - 0,\, 8 - 0) = (1,-2,8).

Passo 3

Dois vetores que estão contidos no plano são \overrightarrow{AB}=(1,-2,8) e V=(2,-1,3). O vetor normal n do plano é dado pelo produto vetorial
n = \overrightarrow{AB}\times V = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -2 & 8 \\\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \bigl( -2\cdot3 - 8\cdot(-1),\; -(1\cdot3 - 8\cdot2),\;1\cdot(-1) -(-2)\cdot2\bigr) = (2,\,13,\,3).

Passo 4

Para escrever a equação do plano usamos o ponto A e o vetor normal n=(2,13,3). Se X=(x,y,z), vale
n\cdot (X - A) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2,13,3)\cdot\bigl(x+1,\;y-0,\;z-0\bigr)=0.
Escrevendo em coordenadas,
2(x+1)+13y+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 13y + 3z + 2 = 0.

Resposta

A equação do plano é
2x + 13y + 3z + 2 = 0.

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