Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes é positiva:
(d) x^2-1x^2-3 x x in R / x<-1 ou 0 ou x>3

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x tais que x^2-1x^2-3x>0. Isto é uma inequação de função racional, e vamos precisar fatorar numerador e denominador e fazer o estudo de sinais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-1=(x-1)(x+1)
x^2-3x=x(x-3)
Note que o domínio exclui x=0 e x=3, pois anulariam o denominador.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos (zeros de numerador e denominador):
zeros do numerador: x=-1 e x=1;
zeros do denominador: x=0 e x=3.
Isso nos divide a reta real nos intervalos: (-infty, -1), (-1,0), (0,1), (1,3) e (3,+infty).

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Fatores e seus zeros:
x+1=0 em x=-1;
x-1=0 em x=1;
x=0;
x-3=0 em x=3.
Escolhendo um ponto em cada intervalo e multiplicando os sinais de (x-1), (x+1), x e (x-3), vemos que o quociente é positivo em:
x< -1,
0< x<1,
e x>3.

Resposta

xinRmid x< -1 ou 0< x<1 ou x>3

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