[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
x[n]=2^n+1 u[n-1]+e^n-1 u[n]
Dicas: Escreva u[n-1] em termos de u[n] e considere cos pi3=12

Passo 1

Neste exercício, temos o sinal
x[n] = 2^{n+1} u[n-1] + e^{n-1} u[n].
O conteúdo é a transformada Z de sequências exponenciais e a propriedade de deslocamento no tempo. Vamos usar a tabela de pares de transformadas Z para a sequência a^n u[n] e a regra que deslocar k amostras equivale a multiplicar por z^{-k}.

Passo 2

Primeiro, trataremos o termo 2^{n+1} u[n-1]. Podemos escrever
2^n+1 u[n-1] = 4 cdot 2^n-1 u[n-1] = 4,x[n-1]
onde x[n] = 2^n u[n]. Pelo par
2^n u[n] rightarrow 11 - 2 z^-1
e pela propriedade de deslocamento,
x[n-1] rightarrow z^-1 X(z).
Logo a transformada desse termo é
X1(z) = 4 z^-11 - 2 z^-1
com região de convergência |z| > 2.

Passo 3

Agora, para o termo e^{n-1} u[n], escrevemos
e^n-1 u[n] = e^-1 cdot e^n u[n]
Pelo par
e^n u[n] rightarrow 11 - e z^-1,
multiplicando por e^{-1}:
X2(z) = e^-1 11 - e z^-1
com região de convergência |z| > e.

Passo 4

Somando as duas partes, a transformada Z total é
X(z) = X1(z) + X2(z) = 4 z^-11 - 2 z^-1 + e^-1 11 - e z^-1
Como ambas as regiões de convergência são |z| > 2 e |z| > e, a região final é |z| > max(2,e).

Resposta

X(z) = 4 z^-11 - 2 z^-1 + e^-1 11 - e z^-1, ROC: |z| > max(2,e)

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