[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
Dicas: Escreva
em termos de
e considere
Dicas: Escreva
Passo 1
Neste exercício, temos o sinal
x[n] = 2^{n+1} u[n-1] + e^{n-1} u[n].
O conteúdo é a transformada Z de sequências exponenciais e a propriedade de deslocamento no tempo. Vamos usar a tabela de pares de transformadas Z para a sequência a^n u[n] e a regra que deslocar k amostras equivale a multiplicar por z^{-k}.
x[n] = 2^{n+1} u[n-1] + e^{n-1} u[n].
O conteúdo é a transformada Z de sequências exponenciais e a propriedade de deslocamento no tempo. Vamos usar a tabela de pares de transformadas Z para a sequência a^n u[n] e a regra que deslocar k amostras equivale a multiplicar por z^{-k}.
Passo 2
Primeiro, trataremos o termo 2^{n+1} u[n-1]. Podemos escrever
onde x[n] = 2^n u[n]. Pelo par
e pela propriedade de deslocamento,
.
Logo a transformada desse termo é
e pela propriedade de deslocamento,
Logo a transformada desse termo é
com região de convergência |z| > 2.
Passo 3
Agora, para o termo e^{n-1} u[n], escrevemos
Pelo par
,
multiplicando por e^{-1}:
multiplicando por e^{-1}:
com região de convergência |z| > e.
Passo 4
Somando as duas partes, a transformada Z total é
Como ambas as regiões de convergência são |z| > 2 e |z| > e, a região final é |z| > max(2,e).