[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
Dicas: Escreva
em termos de
e considere
Dicas: Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o sinal $ x[n] = \gamma^{n-2} u[n-2] $ e precisamos encontrar a Transformada Z desse sinal usando apenas a tabela de pares de transformadas Z. A matéria envolvida aqui é Transformada Z, que é super útil para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a função de escalonamento $ u[n] $ e aplicar as propriedades da Transformada Z.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo $ u[n-2] $. Sabemos que $ u[n-2] $ é o escalonamento que começa no $ n=2 $. Podemos reescrever isso em termos de $ u[n] $ usando o deslocamento no tempo:
Isso nos ajuda a expressar o sinal de uma forma que facilita a aplicação da Transformada Z.
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão no sinal original:
Podemos separar isso em duas partes:
Passo 4
Vamos lidar com cada termo separadamente. Para o primeiro termo $ \gamma^{n-2} u[n] $, podemos reescrever $ \gamma^{n-2} $ como $ \gamma^{-2} \gamma^{n} $:
A Transformada Z de $ \gamma^{n} u[n] $ é conhecida e está na tabela:
Então, aplicando a constante $ \gamma^{-2} $:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo termo $ \gamma^{n-2} u[n-1] $. Primeiro, note que $ u[n-1] $ é o escalonamento que começa em $ n=1 $. Podemos ajustar o índice para combinar com nossa expressão anterior:
A Transformada Z de $ \gamma^{n-1} u[n-1] $ também está na tabela:
Multiplicando pela constante $ \gamma^{-1} $:
Passo 6
Agora, juntando os dois termos que transformamos:
Podemos fatorar o denominador comum:
Resposta
A Transformada Z do sinal $ x[n] = \gamma^{n-2} u[n-2] $ é: