[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
x[n]=gamma^n-2 u[n-2]
Dicas: Escreva u[n-1] em termos de u[n] e considere cos pi3=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o sinal $ x[n] = \gamma^{n-2} u[n-2] $ e precisamos encontrar a Transformada Z desse sinal usando apenas a tabela de pares de transformadas Z. A matéria envolvida aqui é Transformada Z, que é super útil para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a função de escalonamento $ u[n] $ e aplicar as propriedades da Transformada Z.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo $ u[n-2] $. Sabemos que $ u[n-2] $ é o escalonamento que começa no $ n=2 $. Podemos reescrever isso em termos de $ u[n] $ usando o deslocamento no tempo:
u[n-2]
Isso nos ajuda a expressar o sinal de uma forma que facilita a aplicação da Transformada Z.

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão no sinal original:
x[n] = gamma^n-2 (u[n] - u[n-1])
Podemos separar isso em duas partes:
x[n] = gamma^n-2 u[n] - gamma^n-2 u[n-1]

Passo 4

Vamos lidar com cada termo separadamente. Para o primeiro termo $ \gamma^{n-2} u[n] $, podemos reescrever $ \gamma^{n-2} $ como $ \gamma^{-2} \gamma^{n} $:
gamma^n-2 u[n]
A Transformada Z de $ \gamma^{n} u[n] $ é conhecida e está na tabela:
gamma^n-2
Então, aplicando a constante $ \gamma^{-2} $:
gamma^-2 gamma^n

Passo 5

Agora, vamos para o segundo termo $ \gamma^{n-2} u[n-1] $. Primeiro, note que $ u[n-1] $ é o escalonamento que começa em $ n=1 $. Podemos ajustar o índice para combinar com nossa expressão anterior:
gamma^n-2 u[n-1]
A Transformada Z de $ \gamma^{n-1} u[n-1] $ também está na tabela:
u[n-1]
Multiplicando pela constante $ \gamma^{-1} $:
n=1

Passo 6

Agora, juntando os dois termos que transformamos:
Zx[n] = gamma^-2 cdot 11 - gamma z^-1 - z^-11 - gamma z^-1
Podemos fatorar o denominador comum:
Zx[n] = gamma^-2 - z^-11 - gamma z^-1

Resposta

A Transformada Z do sinal $ x[n] = \gamma^{n-2} u[n-2] $ é:
x[n] = gamma^n-2 u[n-2]

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