[Oppenheim et al., 1996, ex. 10.4] Considere o sinal
x[n]= (13)^n cos (pi n4), & n <= 0 0, & n>0
Determine os polos e a região de convergência de X(z).
Dicas: Explore a relação de Euler para o cosseno e sumn=0^infty a^n=11-a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada Z, que faz parte de sinais e sistemas. O problema nos dá um sinal $ x[n] $ definido de duas maneiras, dependendo se $ n $ é positivo ou não. Nosso trabalho é encontrar os polos e a região de convergência (ROC) da Transformada Z desse sinal, que a gente vai chamar de $ X(z) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Transformada Z. Ela é uma ferramenta matemática que transforma sinais no domínio do tempo (como nosso $ x[n] $) para o domínio da frequência, facilitando análises e operações como filtragem.
Nosso sinal $ x[n] $ é definido assim:
x[n]
Isso significa que para $ n $ positivo, $ x[n] = 0 $, e para $ n $ não positivo, temos uma combinação de uma exponencial e um cosseno.

Passo 3

Vamos focar na parte onde $ n \leq 0 $. Para facilitar a Transformada Z, vamos reescrever o cosseno usando a fórmula de Euler, que diz:
n <= 0
Aplicando isso ao nosso sinal:
cos(theta) = e^jtheta + e^-jtheta2
Então, nosso $ x[n] $ fica:
cos(pi n4) = e^jpi n4 + e^-jpi n42

Passo 4

Agora, vamos pensar na Transformada Z. Ela é definida como:
X(z) = sumn=-infty^infty x[n] z^-n
Como nosso $ x[n] $ é zero para $ n > 0 $, a soma fica de $ n = -\infty $ até $ n = 0 $:
x[n]

Passo 5

Vamos simplificar isso! Primeiro, vamos mudar a variável para facilitar a soma. Seja $ m = -n $, assim quando $ n $ vai de $ -\infty $ a 0, $ m $ vai de 0 a $ \infty $.
Substituindo $ n = -m $:
m = -n
Simplificando $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-m} = 3^{m} $:
n

Passo 6

Vamos separar a soma em duas partes:
X(z) = 12 summ=0^infty (3 e^-jpi4 z)^m + 12 summ=0^infty (3 e^jpi4 z)^m
Note que reconhecemos somas geométricas aqui, onde:
summ=0^infty a^m = 11 - a, para |a| < 1

Passo 7

Aplicando a soma geométrica:
X(z) = 12 ( 11 - 3 e^-jpi4 z + 11 - 3 e^jpi4 z )

Passo 8

Agora, vamos identificar os polos. Os polos são os valores de $ z $ que tornam o denominador zero:
z
1 - 3 e^-jpi4 z = 0 Rightarrow z = 13 e^jpi4
Então, os polos são $ z = \frac{1}{3} e^{\pm j\frac{\pi}{4}} $.

Passo 9

Por fim, a Região de Convergência (ROC) para essa Transformada Z depende de onde a soma geométrica converge. Usando a condição $ |a| < 1 $:
|a| < 1

Resposta

Os polos de $ X(z) $ são $ z = \frac{1}{3} e^{j\frac{\pi}{4}} $ e $ z = \frac{1}{3} e^{-j\frac{\pi}{4}} $. A região de convergência é $ |z| < \frac{1}{3} $.

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