[Oppenheim et al., 1996, ex. 10.4] Considere o sinal
Determine os polos e a região de convergência de
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Dicas: Explore a relação de Euler para o cosseno e
Dicas: Explore a relação de Euler para o cosseno e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada Z, que faz parte de sinais e sistemas. O problema nos dá um sinal $ x[n] $ definido de duas maneiras, dependendo se $ n $ é positivo ou não. Nosso trabalho é encontrar os polos e a região de convergência (ROC) da Transformada Z desse sinal, que a gente vai chamar de $ X(z) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Transformada Z. Ela é uma ferramenta matemática que transforma sinais no domínio do tempo (como nosso $ x[n] $) para o domínio da frequência, facilitando análises e operações como filtragem.
Nosso sinal $ x[n] $ é definido assim:
Isso significa que para $ n $ positivo, $ x[n] = 0 $, e para $ n $ não positivo, temos uma combinação de uma exponencial e um cosseno.
Passo 3
Vamos focar na parte onde $ n \leq 0 $. Para facilitar a Transformada Z, vamos reescrever o cosseno usando a fórmula de Euler, que diz:
Aplicando isso ao nosso sinal:
Então, nosso $ x[n] $ fica:
Passo 4
Agora, vamos pensar na Transformada Z. Ela é definida como:
Como nosso $ x[n] $ é zero para $ n > 0 $, a soma fica de $ n = -\infty $ até $ n = 0 $:
Passo 5
Vamos simplificar isso! Primeiro, vamos mudar a variável para facilitar a soma. Seja $ m = -n $, assim quando $ n $ vai de $ -\infty $ a 0, $ m $ vai de 0 a $ \infty $.
Substituindo $ n = -m $:
Simplificando $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-m} = 3^{m} $:
Passo 6
Vamos separar a soma em duas partes:
Note que reconhecemos somas geométricas aqui, onde:
Passo 7
Aplicando a soma geométrica:
Passo 8
Agora, vamos identificar os polos. Os polos são os valores de $ z $ que tornam o denominador zero:
Então, os polos são $ z = \frac{1}{3} e^{\pm j\frac{\pi}{4}} $.
Passo 9
Por fim, a Região de Convergência (ROC) para essa Transformada Z depende de onde a soma geométrica converge. Usando a condição $ |a| < 1 $:
Resposta
Os polos de $ X(z) $ são $ z = \frac{1}{3} e^{j\frac{\pi}{4}} $ e $ z = \frac{1}{3} e^{-j\frac{\pi}{4}} $. A região de convergência é $ |z| < \frac{1}{3} $.