Encontre o centro e o raio da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x+2 y+6 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e o raio da esfera dada pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0.
Informações importantes que o enunciado fornece (peguei estes coeficientes diretamente da equação):
  • Coeficiente de x^{2} é 1.
  • Coeficiente de y^{2} é 1.
  • Coeficiente de z^{2} é 1.
  • Coeficiente linear em x é -8.
  • Coeficiente linear em y é 2.
  • Coeficiente linear em z é 6.
  • Termo constante é 1.
O que se pede:
  • Determinar o centro da esfera (um ponto com coordenadas (h,k,l)).
  • Determinar o raio da esfera (um número positivo).

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): completar o quadrado em x, y e z. Idea rápida da técnica: para transformar algo do tipo x^{2}+Bx em um quadrado perfeito, escreve-se
x^{2}+Bx = (x+\tfrac{B}{2})^{2} - \left(\tfrac{B}{2}\right)^{2}.
Aqui cada termo linear será combinado com o quadrado correspondente para obter expressões da forma (x-h)^{2}, (y-k)^{2}, (z-l)^{2}. Depois reorganizamos os termos constantes para obter a forma padrão da esfera:
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=r^{2},
onde (h,k,l) é o centro e r o raio.

Passo 3

Agrupar os termos por variáveis e aplicar a fórmula de completar quadrado para x. Os termos envolvendo x são x^{2}-8x. Usando a identidade
x^{2}-8x = (x-4)^{2}-16,
porque (x-4)^{2}=x^{2}-8x+16. Assim substituímos x^{2}-8x por (x-4)^{2}-16.

Passo 4

Completar o quadrado para y. Os termos em y são y^{2}+2y. Aplicando a mesma ideia:
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1,
pois (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1. Substituímos y^{2}+2y por (y+1)^{2}-1.

Passo 5

Completar o quadrado para z. Os termos em z são z^{2}+6z. Fazendo o quadrado:
z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9,
pois (z+3)^{2}=z^{2}+6z+9. Substituímos z^{2}+6z por (z+3)^{2}-9.

Passo 6

Substituir as três identidades na equação original e simplificar os termos constantes. Começando de
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0,
substituindo obtemos
(x-4)^{2}-16 + (y+1)^{2}-1 + (z+3)^{2}-9 + 1 = 0.
Agora somamos os termos constantes -16-1-9+1. Calculemos passo a passo:
-16-1=-17,
-17-9=-26,
-26+1=-25.
Logo a equação fica
(x-4)^{2}+(y+1)^{2}+(z+3)^{2}-25=0.
Isolando os quadrados:
(x-4)^{2}+(y+1)^{2}+(z+3)^{2}=25.

Passo 7

Interpretar a forma obtida. A forma padrão da esfera é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=r^{2},
portanto comparando com
(x-4)^{2}+(y+1)^{2}+(z+3)^{2}=25,
vemos que o centro é (h,k,l)=(4,-1,-3) e r^{2}=25, logo o raio é r=5 (escolhemos a raiz positiva porque raio é positivo).
Observação rápida (fórmula alternativa, útil na prova): se a equação estiver na forma
x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0,
então o centro é \left(-\tfrac{A}{2},-\tfrac{B}{2},-\tfrac{C}{2}\right) e o raio é
r=\sqrt{\left(-\tfrac{A}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{B}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{C}{2}\right)^{2}-D}.
No nosso caso A=-8, B=2, C=6, D=1. Aplicando a fórmula rápida:
h=-\tfrac{A}{2}=-\tfrac{-8}{2}=4,\quad k=-\tfrac{B}{2}=-\tfrac{2}{2}=-1,\quad l=-\tfrac{C}{2}=-\tfrac{6}{2}=-3,
r=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}-1}=\sqrt{16+1+9-1}=\sqrt{25}=5,
o que confirma o resultado obtido por completar o quadrado.

Resposta

Centro: (4,-1,-3)
Raio: 5

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