Encontre o centro e o raio da esfera
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro e o raio da esfera dada pela equação
Informações importantes que o enunciado fornece (peguei estes coeficientes diretamente da equação):
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - Coeficiente linear em
é . - Coeficiente linear em
é . - Coeficiente linear em
é . - Termo constante é
.
O que se pede:
- Determinar o centro da esfera (um ponto com coordenadas
). - Determinar o raio da esfera (um número positivo).
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): completar o quadrado em
,
e
. Idea rápida da técnica: para transformar algo do tipo
em um quadrado perfeito, escreve-se
Aqui cada termo linear será combinado com o quadrado correspondente para obter expressões da forma
,
,
. Depois reorganizamos os termos constantes para obter a forma padrão da esfera:
onde
é o centro e
o raio.
Passo 3
Agrupar os termos por variáveis e aplicar a fórmula de completar quadrado para
. Os termos envolvendo
são
. Usando a identidade
porque
. Assim substituímos
por
.
Passo 4
Completar o quadrado para
. Os termos em
são
. Aplicando a mesma ideia:
pois
. Substituímos
por
.
Passo 5
Completar o quadrado para
. Os termos em
são
. Fazendo o quadrado:
pois
. Substituímos
por
.
Passo 6
Substituir as três identidades na equação original e simplificar os termos constantes. Começando de
substituindo obtemos
Agora somamos os termos constantes
. Calculemos passo a passo:
Logo a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 7
Interpretar a forma obtida. A forma padrão da esfera é
portanto comparando com
vemos que o centro é
e
, logo o raio é
(escolhemos a raiz positiva porque raio é positivo).
Observação rápida (fórmula alternativa, útil na prova): se a equação estiver na forma
então o centro é
e o raio é
No nosso caso
,
,
,
. Aplicando a fórmula rápida:
o que confirma o resultado obtido por completar o quadrado.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: