Logo a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. No caso \lvert x\rvert=1 o termo geral é a_{n}=n^{k}, que não tende a zero, então diverge.
Passo 3
Considere \sum n^{n}x^{n}. Agora a_{n}=n^{n}x^{n} e
\sqrt[n]{|a_{n}|} =\sqrt[n]{n^{n}}\;\bigl|x\bigr| =n\,\bigl|x\bigr|\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \quad\text{para todo \(\lvert x\rvert>0\).}
Como o limite da raiz é infinito sempre que x\neq0, a série diverge para todo x\neq0. Só em x=0 ela é trivialmente convergente.
Passo 4
Considere \sum \frac{x^{n}}{n^{n}}. Aqui a_{n}=x^{n}/n^{n} e
Então a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1.
Nos casos \lvert x\rvert=1 temos as séries \sum1/n^{2} e \sum(-1)^{n}/n^{2}, ambas convergentes (p-série com p=2>1).
Resposta
\displaystyle \sum n^{k}x^{n} converge se e somente se \lvert x\rvert<1.
\displaystyle \sum n^{n}x^{n} converge apenas em x=0.
\displaystyle \sum \frac{x^{n}}{n^{n}} converge para todo x.
\displaystyle \sum n!\,x^{n} converge apenas em x=0.
\displaystyle \sum \frac{x^{n}}{n^{2}} converge se e somente se \lvert x\rvert\le1.