1. Determine para quais valores de x cada uma das séries abaixo é convergente:
\sum n^{k} x^{n}, \sum n^{n} x^{n}, \sum x^{n} / n^{n}, \sum n!x^{n}, \sum x^{n} / n^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de valores de x em que cada série
\sum n^{k} x^{n},\quad \sum n^{n} x^{n},\quad \sum \frac{x^{n}}{n^{n}},\quad \sum n!\,x^{n},\quad \sum \frac{x^{n}}{n^{2}}
converge. Para isso vamos usar principalmente o teste da raiz (Cauchy–Hadamard), que diz que a série \sum a_{n} converge se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}<1
e diverge se esse limite for maior que 1.

Passo 2

Considere \sum n^{k}x^{n}. Aqui a_{n}=n^{k}x^{n}. Aplicando o teste da raiz:
\sqrt[n]{|a_{n}|} =\sqrt[n]{n^{k}}\;\bigl|x\bigr| =n^{k/n}\,\bigl|x\bigr|\;\xrightarrow[n\to\infty]{}1\cdot\bigl|x\bigr| =\bigl|x\bigr|.
Logo a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. No caso \lvert x\rvert=1 o termo geral é a_{n}=n^{k}, que não tende a zero, então diverge.

Passo 3

Considere \sum n^{n}x^{n}. Agora a_{n}=n^{n}x^{n} e
\sqrt[n]{|a_{n}|} =\sqrt[n]{n^{n}}\;\bigl|x\bigr| =n\,\bigl|x\bigr|\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \quad\text{para todo \(\lvert x\rvert>0\).}
Como o limite da raiz é infinito sempre que x\neq0, a série diverge para todo x\neq0. Só em x=0 ela é trivialmente convergente.

Passo 4

Considere \sum \frac{x^{n}}{n^{n}}. Aqui a_{n}=x^{n}/n^{n} e
\sqrt[n]{|a_{n}|} =\frac{\lvert x\rvert}{n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}0<1.
Como o limite da raiz é zero, a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Considere \sum n!\,x^{n}. Temos a_{n}=n!\,x^{n}. Pela fórmula de Stirling (n!)^{1/n}\sim n/e, então
\sqrt[n]{|a_{n}|} =(n!)^{1/n}\,\bigl|x\bigr| \sim \frac{n}{e}\,\bigl|x\bigr|\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty \quad\text{se \(\lvert x\rvert>0\).}
Logo diverge para todo x\neq0 e só converge trivialmente em x=0.

Passo 6

Considere \sum \frac{x^{n}}{n^{2}}. Aqui a_{n}=x^{n}/n^{2} e
\sqrt[n]{|a_{n}|} =\frac{\lvert x\rvert}{n^{2/n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\lvert x\rvert.
Então a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1.
Nos casos \lvert x\rvert=1 temos as séries
\sum1/n^{2} e \sum(-1)^{n}/n^{2}, ambas convergentes (p-série com p=2>1).

Resposta

  1. \displaystyle \sum n^{k}x^{n} converge se e somente se \lvert x\rvert<1.
  2. \displaystyle \sum n^{n}x^{n} converge apenas em x=0.
  3. \displaystyle \sum \frac{x^{n}}{n^{n}} converge para todo x.
  4. \displaystyle \sum n!\,x^{n} converge apenas em x=0.
  5. \displaystyle \sum \frac{x^{n}}{n^{2}} converge se e somente se \lvert x\rvert\le1.

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