Determine os valores de x para que as equação seja satisfeita:
\log _{x}(4-2 x)=2

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x que satisfazem a equação
\log_{x}(4-2x)=2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão dentro do logaritmo é 4-2x.
  • O logaritmo tem base x e valor 2.
Observação importante (dados que vêm do enunciado): a igualdade acima só faz sentido quando a base do logaritmo e o argumento são admissíveis; essas condições serão usadas na resolução (mas a resolução começa de verdade no Passo 2).

Passo 2

Lembrete da definição de logaritmo que vamos usar (aula rápida): para números a, b, c com a>0, a\neq1 e b>0,
\log_{a}(b)=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.
Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento (o número cujo log é tomado) e c é o valor do logaritmo. Essas condições sobre a e b (base positiva \neq1 e argumento positivo) são obrigatórias — é a parte de teoria que garante que a operação está bem definida.
Aplicando essa definição à equação dada, com a=x, b=4-2x e c=2, obtemos a equivalência
x^{2}=4-2x,
desde que x>0, x\neq1 e 4-2x>0. Agora vamos resolver essa equação algébrica e depois verificar quais raízes satisfazem as condições de existência do logaritmo.

Passo 3

Reescrevendo a equação exponencial como uma equação polinomial:
x^{2}=4-2x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2x-4=0.
Isso é um polinômio quadrático padrão da forma ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=2, c=-4.

Passo 4

Para resolver x^{2}+2x-4=0 usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula diz que as raízes de ax^{2}+bx+c=0 são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. Aqui a=1, b=2, c=-4.
Calculemos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=4+16=20.
Portanto as raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}.
Simplificando \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}, obtemos
x=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}.

Passo 5

Temos duas soluções algébricas possíveis:
x_{1}=-1+\sqrt{5},\qquad x_{2}=-1-\sqrt{5}.
Vamos aproximar para ver melhor:
x_{1}\approx -1+2{,}236\approx 1{,}236,\qquad x_{2}\approx -1-2{,}236\approx -3{,}236.

Passo 6

Agora aplicamos as condições de existência do logaritmo que mencionamos no Passo 2:
  • A base deve satisfazer x>0 e x\neq1.
  • O argumento deve satisfazer 4-2x>0, ou seja x<2.
Verificação para x_{1}=-1+\sqrt{5}:
  • x_{1}>0 porque 1{,}236>0.
  • x_{1}\neq1 pois 1{,}236\neq1.
  • x_{1}<2 pois 1{,}236<2.
  • O argumento: 4-2x_{1}=4-2(-1+\sqrt{5})=4+2-2\sqrt{5}=6-2\sqrt{5}=2(3-\sqrt{5}). Como \sqrt{5}\approx2{,}236, temos 3-\sqrt{5}\approx0{,}764>0, logo 4-2x_{1}>0.
    Portanto x_{1} satisfaz todas as condições e é uma solução válida.
Verificação para x_{2}=-1-\sqrt{5}:
  • x_{2}<0 (aprox -3{,}236), portanto a base x_{2} é negativa e NÃO pode ser base de logaritmo. Logo x_{2} é extraneous (não admissível) e deve ser rejeitado.

Passo 7

Conclusão: a única raiz da equação que respeita as condições de existência do logaritmo é
x=-1+\sqrt{5}.

Resposta

x=-1+\sqrt{5}

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