Determine os valores de
para que as equação seja satisfeita:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - A expressão dentro do logaritmo é
. - O logaritmo tem base
e valor .
Observação importante (dados que vêm do enunciado): a igualdade acima só faz sentido quando a base do logaritmo e o argumento são admissíveis; essas condições serão usadas na resolução (mas a resolução começa de verdade no Passo 2).
Passo 2
Lembrete da definição de logaritmo que vamos usar (aula rápida): para números
,
,
com
,
e
,
Aqui
é a base do logaritmo,
é o argumento (o número cujo log é tomado) e
é o valor do logaritmo. Essas condições sobre
e
(base positiva
e argumento positivo) são obrigatórias — é a parte de teoria que garante que a operação está bem definida.
Aplicando essa definição à equação dada, com
,
e
, obtemos a equivalência
desde que
,
e
. Agora vamos resolver essa equação algébrica e depois verificar quais raízes satisfazem as condições de existência do logaritmo.
Passo 3
Reescrevendo a equação exponencial como uma equação polinomial:
Isso é um polinômio quadrático padrão da forma
com
,
,
.
Passo 4
Para resolver
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula diz que as raízes de
são
onde
,
,
são os coeficientes. Aqui
,
,
.
Calculemos o discriminante:
Portanto as raízes são
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Temos duas soluções algébricas possíveis:
Vamos aproximar para ver melhor:
Passo 6
Agora aplicamos as condições de existência do logaritmo que mencionamos no Passo 2:
- A base deve satisfazer
e . - O argumento deve satisfazer
, ou seja .
Verificação para
:
-
porque . -
pois . -
pois . - O argumento:
. Como , temos , logo .
Portantosatisfaz todas as condições e é uma solução válida.
Verificação para
:
-
(aprox ), portanto a base é negativa e NÃO pode ser base de logaritmo. Logo é extraneous (não admissível) e deve ser rejeitado.
Passo 7
Conclusão: a única raiz da equação que respeita as condições de existência do logaritmo é