Resolva as expressões abaixo, determinando as funções trigonométricas solicitadas:
Sabendo que \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(x) \cos (x)=2, determine \operatorname{tg}(x).

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\operatorname{sen}^{2}(x)-3\operatorname{sen}(x)\cos(x)=2
e pede para determinar \operatorname{tg}(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é o ângulo x.
  • A expressão envolve \operatorname{sen}(x) e \cos(x).
  • O objetivo final é achar \operatorname{tg}(x).

Passo 2

Antes de manipular a equação, precisamos checar se podemos dividir por \cos^{2}(x). Se \cos(x)=0 então \operatorname{sen}^{2}(x)=1 e a equação do enunciado ficaria
1-3\operatorname{sen}(x)\cdot 0=1\neq 2,
ou seja, não satisfaz a igualdade. Logo \cos(x)\neq 0 para quaisquer soluções, e é seguro dividir por \cos^{2}(x).
Explicação didática rápida: dividir por \cos^{2}(x) é uma técnica comum para transformar expressões em seno e cosseno em algo envolvendo \operatorname{tg}(x), porque \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e \operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}.

Passo 3

Dividindo toda a equação por \cos^{2}(x) (já que \cos(x)\neq 0) obtemos:
\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}-3\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=\frac{2}{\cos^{2}(x)}.
Agora usemos as definições \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e \operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}. Substituindo:
\operatorname{tg}^{2}(x)-3\operatorname{tg}(x)=2\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 4

Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\operatorname{tg}^{2}(x), substituímos na equação:
\operatorname{tg}^{2}(x)-3\operatorname{tg}(x)=2\bigl(1+\operatorname{tg}^{2}(x)\bigr).
Agora desenvolvemos o lado direito:
\operatorname{tg}^{2}(x)-3\operatorname{tg}(x)=2+2\operatorname{tg}^{2}(x).
Passamos tudo para o lado esquerdo para obter uma equação polinomial em \operatorname{tg}(x):
\operatorname{tg}^{2}(x)-3\operatorname{tg}(x)-2-2\operatorname{tg}^{2}(x)=0.
Simplificando os termos semelhantes:
-\operatorname{tg}^{2}(x)-3\operatorname{tg}(x)-2=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais confortável:
\operatorname{tg}^{2}(x)+3\operatorname{tg}(x)+2=0.

Passo 5

Temos uma quadrática em t=\operatorname{tg}(x):
t^{2}+3t+2=0.
Fatorando:
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2)=0.
Portanto as raízes são
t=-1\quad\text{ou}\quad t=-2,
isto é,
\operatorname{tg}(x)=-1\quad\text{ou}\quad \operatorname{tg}(x)=-2.

Passo 6

É bom verificar que essas soluções realmente satisfazem a equação original (para evitar soluções extranhas criadas por manipulações). Podemos testar escolhendo representações convenientes:
  • Se \operatorname{tg}(x)=-1, tomar \cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (um exemplo com \cos\neq0). Então
\operatorname{sen}^{2}(x)-3\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{1}{2}-3\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2.
Funciona.
  • Se \operatorname{tg}(x)=-2, tomar \cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}} e \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}. Então
\operatorname{sen}^{2}(x)-3\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{4}{5}-3\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{4}{5}+\frac{6}{5}=\frac{10}{5}=2.
Também funciona.
Como ambas passam na verificação e não violam \cos(x)\neq0, ambas são soluções válidas.

Resposta

\operatorname{tg}(x)=-1
\operatorname{tg}(x)=-2

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