Resolva as expressões abaixo, determinando as funções trigonométricas solicitadas:
Sabendo que
, determine
.
Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede para determinar
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é o ângulo
. - A expressão envolve
e . - O objetivo final é achar
.
Passo 2
Antes de manipular a equação, precisamos checar se podemos dividir por
. Se
então
e a equação do enunciado ficaria
ou seja, não satisfaz a igualdade. Logo
para quaisquer soluções, e é seguro dividir por
.
Explicação didática rápida: dividir por
é uma técnica comum para transformar expressões em seno e cosseno em algo envolvendo
, porque
e
.
Passo 3
Dividindo toda a equação por
(já que
) obtemos:
Agora usemos as definições
e
. Substituindo:
Passo 4
Usando a identidade
, substituímos na equação:
Agora desenvolvemos o lado direito:
Passamos tudo para o lado esquerdo para obter uma equação polinomial em
:
Simplificando os termos semelhantes:
Multiplicando por
para ficar mais confortável:
Passo 5
Temos uma quadrática em
:
Fatorando:
Portanto as raízes são
isto é,
Passo 6
É bom verificar que essas soluções realmente satisfazem a equação original (para evitar soluções extranhas criadas por manipulações). Podemos testar escolhendo representações convenientes:
- Se
, tomar e (um exemplo com ). Então
Funciona.
- Se
, tomar e . Então
Também funciona.
Como ambas passam na verificação e não violam
, ambas são soluções válidas.