Determine as valores de
que satisfrazem as inequacies
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
que satisfazem a inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma função racional com numerador
e denominador . - O denominador
anula-se em ; nesses pontos a expressão não está definida (não podemos incluir na solução). - A desigualdade é do tipo “maior ou igual” (
), então pontos onde a expressão for exatamente igual a devem ser incluídos, desde que pertençam ao domínio (ou seja, desde que o denominador não seja zero nesses pontos). - A partir daqui vamos reduzir a inequação a uma única fração e estudar o sinal dessa fração.
Passo 2
Passo algébrico inicial: passar tudo para o mesmo lado (subtrair
) e juntar em uma única fração.
Escrevendo
como
e recolhendo em um único denominador
:
Passo 3
Simplifico o numerador passo a passo:
Logo a inequação fica
Multiplico numerador e denominador por
(multiplicar por
não altera a direção da desigualdade) para eliminar o coeficiente fracionário:
Como
, o sinal da fração é o mesmo do quociente
Passo 4
Análise dos zeros de numerador e denominador (pontos críticos):
- Denominador:
em e . Esses pontos NÃO pertencem ao domínio. - Numerador: resolvo
. Multiplico por para facilitar:
Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
,
Aqui
,
,
. O discriminante é
Portanto as raízes são
Então o numerador anula-se em
e
. Esses pontos podem ser incluídos na solução porque aí a diferença é zero (desde que o denominador não seja zero nesses pontos — e de fato
).
Ordenando os pontos críticos na reta numérica (aproximações para intuir):
.
Assim dividimos a reta em intervalos:
Assim dividimos a reta em intervalos:
Passo 5
Método do sinal: escolho um ponto-testem em cada intervalo e avalio o sinal de
Lembro que queremos os intervalos onde essa expressão é maior ou igual a zero.
- Intervalo
. Ponto-teste .
Quociente: negativo / positivo = negativo. Logo não satisfaz
.
- Intervalo
. Ponto-teste .
Quociente: negativo / negativo = positivo. Portanto toda essa porção satisfaz a inequação.
- Intervalo
. Ponto-teste .
Quociente: positivo / negativo = negativo. Não satisfaz.
- Intervalo
. Ponto-teste .
Quociente: positivo / positivo = positivo. Satisfaz a inequação.
- Intervalo
. Ponto-teste .
Quociente: negativo / positivo = negativo. Não satisfaz.
Além disso, nos pontos onde o numerador é zero,
, a expressão vale exatamente zero (desde que o denominador seja diferente de zero, o que é verdade aqui), então esses pontos satisfazem a desigualdade do tipo “
”. Já em
a expressão não está definida, então esses pontos não entram na solução.
Passo 6
Reunindo os intervalos que satisfazem a inequação e incluindo os zeros do numerador:
- Satisfaz em
(aberto em , fechado em ). - Satisfaz também em
(aberto em , fechado em ).