Determine as valores de x que satisfrazem as inequacies
\frac{x+1}{x^{2}-4} \geq 0,5

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x que satisfazem a inequação
\frac{x+1}{x^{2}-4} \geq 0,5.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma função racional com numerador x+1 e denominador x^{2}-4.
  • O denominador x^{2}-4 anula-se em x=\pm 2; nesses pontos a expressão não está definida (não podemos incluir x=\pm 2 na solução).
  • A desigualdade é do tipo “maior ou igual” ( \geq), então pontos onde a expressão for exatamente igual a 0,5 devem ser incluídos, desde que pertençam ao domínio (ou seja, desde que o denominador não seja zero nesses pontos).
  • A partir daqui vamos reduzir a inequação a uma única fração e estudar o sinal dessa fração.

Passo 2

Passo algébrico inicial: passar tudo para o mesmo lado (subtrair 0,5) e juntar em uma única fração.
\frac{x+1}{x^{2}-4} - 0,5 \geq 0.
Escrevendo 0,5 como \tfrac{1}{2} e recolhendo em um único denominador (x^{2}-4):
\frac{x+1}{x^{2}-4} - \frac{1}{2} = \frac{(x+1)-\tfrac{1}{2}(x^{2}-4)}{x^{2}-4}.

Passo 3

Simplifico o numerador passo a passo:
(x+1)-\tfrac{1}{2}(x^{2}-4) = x+1 - \tfrac{1}{2}x^{2} +2 = -\tfrac{1}{2}x^{2} + x + 3.
Logo a inequação fica
\frac{-\tfrac{1}{2}x^{2} + x + 3}{x^{2}-4} \geq 0.
Multiplico numerador e denominador por 2 (multiplicar por 2>0 não altera a direção da desigualdade) para eliminar o coeficiente fracionário:
\frac{-x^{2} + 2x + 6}{2(x^{2}-4)} \geq 0.
Como 2>0, o sinal da fração é o mesmo do quociente
\frac{-x^{2} + 2x + 6}{x^{2}-4}.

Passo 4

Análise dos zeros de numerador e denominador (pontos críticos):
  • Denominador: x^{2}-4=0 em x=-2 e x=2. Esses pontos NÃO pertencem ao domínio.
  • Numerador: resolvo -x^{2}+2x+6=0. Multiplico por -1 para facilitar:
x^{2}-2x-6=0.
Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-6. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=4+24=28.
Portanto as raízes são
x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}=1\pm\sqrt{7}.
Então o numerador anula-se em x=1-\sqrt{7} e x=1+\sqrt{7}. Esses pontos podem ser incluídos na solução porque aí a diferença é zero (desde que o denominador não seja zero nesses pontos — e de fato 1\pm\sqrt{7}\neq \pm 2).
Ordenando os pontos críticos na reta numérica (aproximações para intuir): \, -2,\; 1-\sqrt{7}\approx -1,6458,\; 2,\; 1+\sqrt{7}\approx 3,6458.
Assim dividimos a reta em intervalos:
(-\infty,-2),\;(-2,\,1-\sqrt{7}),\;(1-\sqrt{7},\,2),\;(2,\,1+\sqrt{7}),\;(1+\sqrt{7},\infty).

Passo 5

Método do sinal: escolho um ponto-testem em cada intervalo e avalio o sinal de
\frac{-x^{2} + 2x + 6}{x^{2}-4}.
Lembro que queremos os intervalos onde essa expressão é maior ou igual a zero.
  1. Intervalo (-\infty,-2). Ponto-teste x=-3.
\text{Numerador }=-(-3)^{2}+2(-3)+6 = -9-6+6=-9\quad(\text{negativo}).
\text{Denominador }=(-3)^{2}-4=9-4=5\quad(\text{positivo}).
Quociente: negativo / positivo = negativo. Logo não satisfaz \geq 0.
  1. Intervalo (-2,\,1-\sqrt{7}). Ponto-teste x=-1{,}8.
\text{Numerador }=-(-1{,}8)^{2}+2(-1{,}8)+6 \approx -3{,}24-3{,}6+6=-0{,}84\quad(\text{negativo}).
\text{Denominador }=(-1{,}8)^{2}-4\approx 3{,}24-4=-0{,}76\quad(\text{negativo}).
Quociente: negativo / negativo = positivo. Portanto toda essa porção satisfaz a inequação.
  1. Intervalo (1-\sqrt{7},\,2). Ponto-teste x=0.
\text{Numerador }=-0^{2}+2\cdot0+6=6\quad(\text{positivo}).
\text{Denominador }=0^{2}-4=-4\quad(\text{negativo}).
Quociente: positivo / negativo = negativo. Não satisfaz.
  1. Intervalo (2,\,1+\sqrt{7}). Ponto-teste x=3.
\text{Numerador }=-9+6+6=3\quad(\text{positivo}).
\text{Denominador }=9-4=5\quad(\text{positivo}).
Quociente: positivo / positivo = positivo. Satisfaz a inequação.
  1. Intervalo (1+\sqrt{7},\infty). Ponto-teste x=4.
\text{Numerador }=-16+8+6=-2\quad(\text{negativo}).
\text{Denominador }=16-4=12\quad(\text{positivo}).
Quociente: negativo / positivo = negativo. Não satisfaz.
Além disso, nos pontos onde o numerador é zero, x=1\pm\sqrt{7}, a expressão vale exatamente zero (desde que o denominador seja diferente de zero, o que é verdade aqui), então esses pontos satisfazem a desigualdade do tipo “ \geq 0”. Já em x=\pm 2 a expressão não está definida, então esses pontos não entram na solução.

Passo 6

Reunindo os intervalos que satisfazem a inequação e incluindo os zeros do numerador:
  • Satisfaz em (-2,\,1-\sqrt{7}] (aberto em -2, fechado em 1-\sqrt{7}).
  • Satisfaz também em (2,\,1+\sqrt{7}] (aberto em 2, fechado em 1+\sqrt{7}).

Resposta

( -2,\;1-\sqrt{7}] \cup (2,\;1+\sqrt{7}]

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