Questão 88. A equação de aquecimento de um corpo é dada por
- Determine
usando Transformada de Laplace.
- Ache
no domínio do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial inicial
São pedidas duas coisas:
- Determinar
(a transformada de Laplace de ). - Determinar
(a solução no domínio do tempo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de entrada é
, onde é a função degrau unitário. - Condição inicial:
. - Coeficiente no termo
é .
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação. Antes de transformar, lembro duas fórmulas essenciais (e o que cada símbolo significa):
- Se
tem transformada , então a transformada da derivada é
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é o valor inicial no tempo.
- A transformada do degrau unitário deslocado é
e da função degrau em
é
.
Também usaremos linearidade: .
Também usaremos linearidade:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira:
Usando as fórmulas:
Substituindo
:
Agrupando
:
Logo isolando
:
Passo 4
Agora fazemos manipulações algébricas para obter uma forma conveniente para a inversa. Decompomos
em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
:
Colocando
obtemos
.
Colocando obtemos
.
Portanto
Colocando
Portanto
Substituindo na expressão de
:
Juntando os termos em
:
Assim obtemos a forma simplificada
Passo 5
Preparamos a inversa pelo teorema do deslocamento no tempo. Primeiro observação: já sabemos as inversas padrão:
Agora tratamos o termo com deslocamento
. Primeiro escrevemos
em frações parciais (dividindo a decomposição anterior por
):
pois
. Multiplicando por
temos
Agora aplicamos o teorema do deslocamento: se
então
. Assim o termo
corresponde no tempo a
Ou seja, usando a decomposição:
e
.
Passo 6
Juntando todas as partes (os dois primeiros termos e a contribuição deslocada) obtemos
Podemos reescrever de forma peça a peça (forma mais intuitiva para a prova):
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Uma checagem rápida de continuidade em
: limites dos dois lados coincidem, então a solução é contínua em
, como esperamos fisicamente.