Questão 88. A equação de aquecimento de um corpo é dada por
\frac{d T}{d t}+0,5 T=20[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-3)], \quad T(0)=25 .
  1. Determine T(s) usando Transformada de Laplace.
  2. Ache T(t) no domínio do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial inicial
\frac{dT}{dt}+0,5\,T=20\bigl[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-3)\bigr],\qquad T(0)=25.
São pedidas duas coisas:
  1. Determinar \;T(s)\; (a transformada de Laplace de T(t)).
  2. Determinar \;T(t)\; (a solução no domínio do tempo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de entrada é 20[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-3)], onde \mathcal{U} é a função degrau unitário.
  • Condição inicial: T(0)=25.
  • Coeficiente no termo T é 0,5.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação. Antes de transformar, lembro duas fórmulas essenciais (e o que cada símbolo significa):
  • Se f(t) tem transformada F(s), então a transformada da derivada é
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
Aqui s é a variável complexa da transformada e f(0) é o valor inicial no tempo.
  • A transformada do degrau unitário deslocado é
\mathcal{L}\{\mathcal{U}(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s},
e da função degrau em t=0 é \mathcal{L}\{\mathcal{U}(t)\}=\frac{1}{s}.
Também usaremos linearidade: \mathcal{L}\{af+bg\}=aF+ bG.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira:
\mathcal{L}\{T'(t)\} + 0,5\,\mathcal{L}\{T(t)\} = 20\Bigl(\mathcal{L}\{\mathcal{U}(t)\} - \mathcal{L}\{\mathcal{U}(t-3)\}\Bigr).
Usando as fórmulas:
\bigl(sT(s)-T(0)\bigr) +0,5\,T(s) = 20\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{e^{-3s}}{s}\Bigr).
Substituindo T(0)=25:
sT(s)-25 +0,5\,T(s) = 20\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{e^{-3s}}{s}\Bigr).
Agrupando T(s):
T(s)(s+0,5) -25 = 20\Bigl(\frac{1-e^{-3s}}{s}\Bigr).
Logo isolando T(s):
T(s)=\frac{25}{s+0,5} + \frac{20}{s(s+0,5)} - \frac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}.

Passo 4

Agora fazemos manipulações algébricas para obter uma forma conveniente para a inversa. Decompomos \dfrac{20}{s(s+0,5)} em frações parciais. Procuramos constantes A,B tais que
\frac{20}{s(s+0,5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+0,5}.
Multiplicando por s(s+0,5):
20 = A(s+0,5)+Bs.
Colocando s=0 obtemos 20 = A\cdot0,5\Rightarrow A=40.
Colocando s=-0,5 obtemos 20 = B(-0,5)\Rightarrow B=-40.
Portanto
\frac{20}{s(s+0,5)}=\frac{40}{s}-\frac{40}{s+0,5}.
Substituindo na expressão de T(s):
T(s)=\frac{25}{s+0,5} + \Bigl(\frac{40}{s}-\frac{40}{s+0,5}\Bigr) - \frac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}.
Juntando os termos em s+0,5:
\frac{25}{s+0,5}-\frac{40}{s+0,5} = -\frac{15}{s+0,5}.
Assim obtemos a forma simplificada
T(s)=\frac{40}{s} - \frac{15}{s+0,5} - \frac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}.

Passo 5

Preparamos a inversa pelo teorema do deslocamento no tempo. Primeiro observação: já sabemos as inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{40}{s}\right\}=40,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{15}{s+0,5}\right\}=15\,e^{-0,5 t}.
Agora tratamos o termo com deslocamento -\dfrac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}. Primeiro escrevemos \dfrac{1}{s(s+0,5)} em frações parciais (dividindo a decomposição anterior por 20):
\frac{1}{s(s+0,5)}=\frac{2}{s}-\frac{2}{s+0,5},
pois \dfrac{20}{s(s+0,5)}=40/s-40/(s+0,5). Multiplicando por -20 temos
-20\cdot\frac{1}{s(s+0,5)} = -40\cdot\frac{1}{s} +40\cdot\frac{1}{s+0,5}.
Agora aplicamos o teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{f(t-a)\mathcal{U}(t-a)\}=e^{-a s}F(s). Assim o termo
-\frac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}
corresponde no tempo a
\bigl(-40\bigr)\mathcal{U}(t-3) + 40\,e^{-0,5(t-3)}\mathcal{U}(t-3).
Ou seja, usando a decomposição: \mathcal{L}^{-1}\{e^{-3s}(-40/s)\} = -40\,\mathcal{U}(t-3) e \mathcal{L}^{-1}\{e^{-3s}(40/(s+0,5))\} = 40\,e^{-0,5(t-3)}\mathcal{U}(t-3).

Passo 6

Juntando todas as partes (os dois primeiros termos e a contribuição deslocada) obtemos
T(t)=40 - 15\,e^{-0,5 t} \;+\; \bigl(-40 + 40\,e^{-0,5(t-3)}\bigr)\mathcal{U}(t-3).
Podemos reescrever de forma peça a peça (forma mais intuitiva para a prova):
  • Para 0\le t<3 (aqui \mathcal{U}(t-3)=0):
T(t)=40 - 15\,e^{-0,5 t}.
  • Para t\ge 3 (aqui \mathcal{U}(t-3)=1):
T(t)=40 - 15\,e^{-0,5 t} -40 +40\,e^{-0,5(t-3)} = -15\,e^{-0,5 t} + 40\,e^{-0,5(t-3)}.
Uma checagem rápida de continuidade em t=3: limites dos dois lados coincidem, então a solução é contínua em t=3, como esperamos fisicamente.

Resposta

T(s)=\frac{40}{s}-\frac{15}{s+0,5}-\frac{20\,e^{-3s}}{s(s+0,5)}
T(t)=\begin{cases} 40-15\,e^{-0,5 t}, & 0\le t<3,\\[4pt] -15\,e^{-0,5 t}+40\,e^{-0,5(t-3)}, & t\ge 3. \end{cases}]

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