Questão 90. Um oscilador massa-mola sem amortecimento recebe um impulso no tempo t=1 segundo:
x^{\prime \prime}(t)+9 x(t)=\delta(t-1), \quad x(0)=x^{\prime}(0)=0
  1. Determine X(s) usando a Transformada de Laplace.
  2. Ache x(t) no domínio do tempo.
  3. Descreva a resposta após o impulso.

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos a equação
x''(t)+9x(t)=\delta(t-1),
com condições iniciais \;x(0)=0 e \;x'(0)=0. O enunciado pede:
  1. Determinar X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} (a transformada de Laplace de x).
  2. Encontrar x(t) no domínio do tempo.
  3. Descrever a resposta do sistema depois do impulso em t=1.
    Informações relevantes dadas: a força de entrada é o pulso de Dirac \delta(t-1) localizado em t=1; as condições iniciais são nulas.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à equação. Vou usar a definição usual \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s). Recordando a fórmula para a transformada da segunda derivada:
\mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0).
Como \;x(0)=0 e \;x'(0)=0, isso simplifica para
\mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s).
Também \mathcal{L}\{9x(t)\}=9X(s). Para o lado direito, uso a propriedade da transformada do impulso deslocado: a transformada de \delta(t-a) é \;e^{-a s}. Assim
\mathcal{L}\{\delta(t-1)\}=e^{-s}.

Passo 3

Montando a equação em s a partir das transformadas:
s^{2}X(s)+9X(s)=e^{-s}.
Fatorando X(s),
(s^{2}+9)X(s)=e^{-s}.
Isolando X(s),
X(s)=\frac{e^{-s}}{s^{2}+9}.

Passo 4

Explicação didática da inversão: eu quero \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}. Há uma propriedade importante (teorema do deslocamento no tempo): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada. Aqui temos um fator e^{-s} multiplicando 1/(s^{2}+9), então a inversa será uma função iniciada em t=1 obtida a partir da inversa de 1/(s^{2}+9).

Passo 5

Calculo da inversa básica: sei que
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+9}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}=\frac{1}{3}\sin(3t).
Aplicando o teorema do deslocamento (com a=1) a X(s)=e^{-s}\cdot\frac{1}{s^{2}+9}, obtenho
x(t)=\frac{1}{3}\sin\bigl(3(t-1)\bigr)\,u(t-1).
Escrevendo de forma peça‑wise (útil na prova),
x(t)=\begin{cases} 0, & t<1,\\[4pt] \dfrac{1}{3}\sin\bigl(3(t-1)\bigr), & t\ge 1. \end{cases}]

Passo 6

Consistência física: o impulso não produz salto em x (deslocamento), mas produz salto na velocidade x'. Para ver isso, integro a equação em torno de t=1:
\int_{1^-}^{1^+} x''(t)\,dt +9\int_{1^-}^{1^+} x(t)\,dt = \int_{1^-}^{1^+}\delta(t-1)\,dt.
O segundo integral à esquerda tende a zero porque é sobre um intervalo de medida zero, e o lado direito é 1. Assim
x'(1^+)-x'(1^-)=1.
Antes do impulso não havia movimento, então x'(1^-)=0, daí x'(1^+)=1. Agora resolvo a equação homogênea para t>1 com condições x(1)=0 e x'(1)=1. A solução geral homogênea é
x(t)=A\cos\bigl(3(t-1)\bigr)+B\sin\bigl(3(t-1)\bigr),
aplicando as condições em t=1: x(1)=A=0 e x'(1)=3B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{3}. Isso dá novamente
x(t)=\frac{1}{3}\sin\bigl(3(t-1)\bigr),\qquad t\ge 1,
coincidindo com a inversão por Laplace — bom sinal.

Passo 7

Descrição da resposta após o impulso (explicação prática): para t\ge 1 o sistema executa oscilação harmônica simples sem amortecimento com frequência angular \omega=3 rad/s e amplitude máxima \tfrac{1}{3}. A oscilação começa em t=1 com deslocamento zero e velocidade inicial 1. Como não há amortecimento, a oscilação persiste indefinidamente com amplitude constante. Observações úteis para a prova: x(t) é contínua em t=1 mas x'(t) tem um salto igual a 1 em t=1, causado pelo impulso.

Resposta

X(s)=\dfrac{e^{-s}}{s^{2}+9}\) \(x(t)=\dfrac{1}{3}\sin\bigl(3(t-1)\bigr)\,u(t-1)=\begin{cases}0,&t<1,\\[4pt]\dfrac{1}{3}\sin\bigl(3(t-1)\bigr),&t\ge 1,\end{cases}
Resposta após o impulso: para t\ge 1 há uma oscilação harmônica simples sem amortecimento de frequência angular \omega=3 rad/s e amplitude máxima \tfrac{1}{3}; x(1)=0 e x'(1^+)-x'(1^-)=1 (salto na velocidade).]

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